Абелевы универсальные алгебры — страница 7

  • Просмотров 5248
  • Скачиваний 91
  • Размер файла 1410
    Кб

как, то Если, то и, значит, т.е. Пусть, наконец, Тогда и так как Следовательно, Итак, конгруэнция удовлетворяет определению 2.1. для любого. Лемма доказана. Лемма 3.2. Пусть и – конгруэнции на алгебре, и – изоморфизм, определенный на алгебре. Тогда для любого элемента отображение определяет изоморфизм алгебры на алгебру, при котором Доказательство: Очевидно, что – изоморфизм алгебры на алгебру, при котором конгруэнции и изоморфны

соответственно конгруэнциям и. Так как, то существует конгруэнция на алгебре, удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм алебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм алгебры на алгебру такой, что для любых элементов,. Но тогда легко проверить, что – конгруэнция на алгебре изоморфная конгруэнции. Это и означает, что Лемма доказана. Лемма 3.3. Фактор-алгебра нильпотентной алгебры нильпотентна. Доказательство: Пусть

центральный ряд алгебры. Покажем, что для любой конгруэнции на алгебре ряд является центральным, т.е. для любого. В силу известных теорем об изоморфизмах для алгебр (см., например, теоремы II.3.7, II.3.11 ) и леммы 3.2., достаточно показать, что Пусть – конгруэнция на алгебре, удовлетворяющая определению 2.1. Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы, что и Непосредственной

проверкой убеждаемся, что – конгруэнция на алгебре. Таким образом осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1. Пусть тогда из соотношения следует, что Так как то. Итак, Пусть. Тогда для некоторого элемента, и. Таким образом, следовательно, Так как, то это означает, что Пусть где Покажем, что. В силу определения найдутся, что и При этом имеют место следующие соотношения: Следовательно, Но тогда по определению 3.2. А так как, то

Теперь из того, что следует, что Лемма доказана. Доказательство следующего результата осуществляется простой проверкой. Лемма 3.4. Пусть – конгруэнция на алгебре,. Пологая тогда и только тогда, когда для любого, получаем конгруэнцию на алгебре. Лемма 3.5. Прямое произведение конечного числа нильпотентных алгебр нильпотентно. Доказательство: Очевидно, достаточно показать, что если, и – нильпотентные алгебры, то – нильпотентная

алгебра. Пусть центральные ряды алгебр и соответственно. Если, то, уплотнив первый ряд повторяющимися членами, получим центральный ряд алгебры длины. Таким образом, можно считать, что эти ряды имеют одинаковую длину, равную. Построим теперь ряд конгруэнции на алгебре следующим образом: где тогда и только тогда, когда,,. Покажем, что последний ряд является центральным, т.е. для произвольного. Так как то на алгебрах и соответственно