Абелевы универсальные алгебры — страница 9

  • Просмотров 5279
  • Скачиваний 91
  • Размер файла 1410
    Кб

ряд конгруэнций называемый центральным, что для любого. Определение 4.1. В случае, если для нильпотентной алгебры в центральном ряде, то есть если для нее, то алгебра называется, абелевой. Лемма 4.1. Любая подалгебра абелевой алгебры абелева. Доказательство: Пусть подалгебра абелевой алгебры. Так как по определению, то на существует такая конгруэнция, что: 1) из всегда следует 2) для любого элемента всегда выполняется 3) если то

Рассмотрим конгруэнцию Действительно, если для, то и для любой-арной опеации имеем Но поскольку подалгебра алгебры, получаем Значит, подалгебра алгебры. Очевидно, что для любого элемента имеет место Таким образом, конгруэнция ня алгебре. Пусть тогда то Если, то и, значит, т.е. Пусть, наконец, Тогда и значит. Итак, конгруэнция удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана. Лемма 4.2. Фактор-алгебра абелевой алгебры абелева.

Доказательство: Пусть алгебра – абелева, то есть. Покажем, что для любой конгруэнции на выполняется Пусть – конгруэнция на алгебре, удовлетворяющая определению 2.1. Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом: тогда и только тогда, когда найдуться такие элементы,,,, что и Непосредственной проверкой убеждаемся, что – конгруэнция на алгебре. Таким образом осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1. Пусть

тогда Пусть Тогда, и по определению 2.1 При этом и. Согласно нашим обозначениям получаем, что Пусть Тогда найдутся, что и При этом Следовательно, Но тогда по определению 3.1.. А так как, то Теперь из того, что следует, что Лемма доказана. Лемма 4.3. Прямое произведение конечного числа абелевых алгебр абелево. Доказательство: Очевидно, достаточно показать, что если, и – абелевы алгебры, то – абелева алгебра. Пусть и. Это означает, что на

алгебрах и заданы cоответсвенно конгруэнции и удовлетворяющие определению 2.1. Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом: тогда и только тогда, когда и Непосредственной проверкой убеждаемся, что – конгруэнция на алгебре. Таким образом осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1. Пусть тогда Пусть. Это означает, что и. Но тогда и Следовательно, Пусть тогда и Это означает, что и. Таким образом Лемма

доказана. Результаты, полученные в леммах 4.1, 4.2, 4.3 можно теперь сформулировать в виде следующей теоремы. Теорема 8 Класс всех абелевых алгебр мальцевского многообразия является наследственной формацией. Пусть – конгруэнция на алгебре. – подалгебра алгебры, и. Тогда введем новое обозначение Лемма 4.4. Пусть определено множество. Тогда – конгруэнция на, Доказательство: Так как, то для любого элемента всегда найдется такой