Абстрактное отношение зависимости — страница 2

  • Просмотров 5705
  • Скачиваний 76
  • Размер файла 765
    Кб

Z3: Z ( Z - конечно). Подмножество множества A называется зависимым, если оно принадлежит Z, и независимым в противном случае. Легко убедиться в независимости аксиом Z1 - Z3.. Модель 1: . Полагаем Z = B (А) для любого множества . Модель 2: . Пусть Z = при . Модель 3:. Пусть Z = для бесконечного множества . Определение 2. Пространством зависимости назовем пару Z, где Z – отношение зависимости на A. Определение 3. Элемент называется зависимым от множества ,

если а  X или существует такое независимое подмножество Y множества X, что зависимо, т.е. Z Z ). Из определения 1 вытекает, что если элемент зависит от множества , то он зависит от некоторого конечного подмножества . Определение 4. Множество всех элементов, зависящих от X, называется оболочкой множества X и обозначается через . Ясно, что и включение влечет включение их оболочек: . Определение 5. Если = A, то X называется порождающим

множеством множества A. Определение 6. Независимое порождающее подмножество множества A называется базисом множества A. Определение 7. Множество зависит от , если любой элемент из зависит от , то есть . Определение 8. Отношение зависимости Z на A будем называть транзитивным отношением зависимости, если . Определение 9. Транзитивным пространством зависимости назовем пространство зависимости, в котором отношение зависимости

обладает свойством транзитивности. В качестве теоретико-множественного постулата будем использовать следующий принцип, эквивалентный известной аксиоме выбора. Лемма Цорна. Непустое упорядоченное множество, в котором каждое линейно упорядоченное подмножество обладает верхней гранью, имеет максимальный элемент. Далее целесообразно рассмотреть некоторые примеры отношения зависимости: Пример 1. Понятие линейной зависимости

в векторном пространстве V над полем . Система векторов векторного пространства V называется линейно зависимой, если существует конечная линейно зависимая ее подсистема, в противном случае – линейно независимой. Понятие линейной зависимости в конечномерных векторных пространствах дается в курсе алгебры. Конечная система векторов V называется линейно зависимой, если существуют элементы поля одновременно не равные нулю и

такие, что линейная комбинация. Множество линейных комбинаций множества векторов векторного пространства V с коэффициентами из поля P называется линейной оболочкой этих векторов и обозначается . При этом - является подпространством в пространстве V, порожденным . Получаем транзитивное отношение зависимости. Пример 2. Пусть поле является расширением основного поля Р, а минимальное подкольцо содержащее элементы и поле Р.