Абстрактное отношение зависимости — страница 3

  • Просмотров 5678
  • Скачиваний 76
  • Размер файла 765
    Кб

Подкольцо состоит из всех элементов поля , которые выражаются через элементы и элементы поля Р при помощи сложения, вычитания и умножения: это будут всевозможные многочлены от с коэффициентами из поля Р. Тогда, если для всякого элемента существует единственная запись в виде многочлена от как неизвестных с коэффициентами из поля Р, то есть если различные многочлены от будут различными элементами подкольца , то система элементов

, будет называться алгебраически независимой над полем Р, в противном случае алгебраически зависимой. Произвольное множество элементов поля Р называется зависимым, если оно содержит конечное зависимое подмножество. В первом случае кольцо изоморфно кольцу многочленов . Отношение алгебраической зависимости над полем Р является транзитивным отношением зависимости. Пример 3. Пусть на множестве A задано рефлексивное и

симметричное бинарное отношение (называемое отношением сходства). Подмножество X множества A будем считать зависимым, если оно содержит два различных элемента, находящихся в отношении . Оболочкой множества служит множество В этом случае можно усилить аксиому отношения зависимости следующим образом: Z Z. Тогда оболочкой множества будет множество всех элементов, находящихся в отношении сходства хотя бы с одним элементом из

множества . Введенное отношение зависимости будет транзитивным тогда и только тогда, когда соответствующее бинарное отношение будет транзитивно, то есть является отношением эквивалентности на . В случае, когда - отношение эквивалентности будет независимым тогда и только тогда, когда множество содержит не более одного элемента. Любое максимальное независимое подмножество будет содержать ровно по одному элементу из каждого

класса эквивалентности . Пример 4. Рассмотрим четырехэлементное множество . Назовем подмножество множества зависимым тогда и только тогда, когда или . Z . Рассмотрим подмножество множества , по введенному определению оно будет независимо. Рассмотрим оболочку множества и найдем оболочку оболочки нашего множества . Таким образом, мы получили , то есть рассмотренное нами отношение зависимости не является транзитивным. Пример 5.

Рассмотрим произвольное множество и . Множество будем считать зависимым, если B (А)\ B (В), то есть , но . Таким образом, получили следующее транзитивное пространство зависимости: B (А)\ B (В. Оболочкой будет множество . В частности можно рассмотреть 2 случая: , то есть все множества независимы, тогда . B (А), то есть все множества, кроме пустого, будут зависимыми, в этом случае . Пример 6. Рассмотрим произвольное множество и его непустое