Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряж нных комплексных координатах — страница 4

  • Просмотров 5716
  • Скачиваний 80
  • Размер файла 337
    Кб

однозначно. Опустив громоздкие выкладки, отметим, что определитель рассмотренного аффинного преобразования не равен нулю, таким образом, доказано существование и единственность искомого аффинного преобразования. §5. Свойство площадей треугольников Докажем, что площадь треугольника пропорциональна площади его образа при некотором аффинном преобразовании (2) с коэффициентом пропорциональности, равным определителю этого

аффинного преобразования. [1] Пусть точки M, N и K неколлинеарны, тогда точки M’, N’ и K’, являющиеся образами точек M, N и K при некотором аффинном преобразовании (2), также неколлинеарны. Найдём отношение площадей ориентированных треугольников MNK и M’N’K’. Воспользуемся формулой площади положительно ориентированного треугольника: , . (6) Для координат точек M’, N’ и K’ выполняются равенства Преобразуем формулу площади второго

треугольника (6), подставив вместо координат его вершин их выражения через координаты вершин первого треугольника, получим: После последовательных преобразований полученного выражения имеем: , то есть . Таким образом, площадь треугольника пропорциональна площади его прообраза с коэффициентом пропорциональности, равным определителю аффинного преобразования, что и требовалось доказать. Следствие. Отношение площади

треугольника к площади его образа при аффинном преобразовании является инвариантом этого аффинного преобразования. Найденное свойство площадей треугольников можно обобщить на произвольные -угольники. §6. Род аффинного преобразования 6.1. Ориентация плоских фигур Введём понятие ориентации плоских фигур, причём здесь можно ограничиться лишь рассмотрением ориентации треугольников: каждый треугольник может быть ориентирован

двумя способами, то есть обход его контура может совершаться в двух взаимно противоположных направлениях – «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки». Аффинные преобразования первого рода сохраняют ориентацию всех треугольников, а аффинные преобразования второго рода меняют её на противоположную. 6.2. Ориентация пар векторов Если на плоскости задана система координат, то одну из двух ориентаций плоских фигур называют

обычно положительной, а другую – отрицательной. За положительную принимается ориентация, определяемая обходом координатного треугольника ОЕ1Е2 (рис. 1) или, что то же самое, направлением вращения от вектора к вектору (на угол, меньший 1800). В связи с этим введём также понятие ориентации пары векторов: будем называть пару векторов и ориентированной положительно, если направление вращения (на наименьший возможный угол) от к