Алгебра и топология

  • Просмотров 3711
  • Скачиваний 42
  • Размер файла 286
    Кб

Алгебра и топология Определения. 1. Общая алгебра – часто алгебра, занимающаяся изучением тех или иных алгебраических систем, включающая в себя теории групп, колец, модулей (абелева группа с кольцом операторов), подгрупп, решеток (структур) и т. п. . Если универсальная алгебра (см. §2.1, п.1) снабжена порядком или топологией, согласованным с операциями, то возникает частично упорядоченная или топологическая алгебра соответственно.

Исследование этих объектов также относится к общей алгебре. Наиболее развиты в общей алгебре теории частично упорядоченных и топологических групп и колец. Другими направлениями являются исследования структур, универсальных алгебр и категорий. Вскрытие связей алгебр и математической логики привело к появлению теории моделей и алгебраических систем, кратко раскрывавшихся ранее (см. §3.1, п. 3.3). Результаты этих исследований

находят приложения в ряде областей, например, в алгебраической теории автоматов, алгебре алгоритмов и алгебраической теории информации (главным образом в том направлении, которое связано с теорией кодирования и декодирования). Немаловажно и другое замечание общей алгебры – ее связь с топологией. Предметом исследований объектов являются: установление их соответствия, образование изотопий, наличие и сохранение характерных

свойств, введение классов, категорий и т. п. . Результаты обобщений позволяют надежно обосновывать рациональные пути конструктивных практических методов, подобных уже упоминавшихся ранее (§2.2, п. 2.4, §2.3, п. 6-11). В §§2.2 и 2.3 приведены многие определения из входящих в круг понятий общей алгебры. Однако следует остановиться еще на ряде терминов. Универсальная алгебра – это алгебраическая система с пустым множеством отношений (часто

называют просто алгебра). Если к основным операциям алгебры А присоединяются все производные операции (например, как в §2.3, п. 6), то возникает универсальная алгебра Â большей сигнатуры. Равенство Â = возможное и при АВ, приводит к понятию рациональной дививалентности универсальных алгебр. Универсальная алгебра называется функционально полной, если всякая операция на ее носителе принадлежит клону* , порожденному ее основными