Алгебра матриц

  • Просмотров 1505
  • Скачиваний 34
  • Размер файла 164
    Кб

Алгебра матриц Основные понятия Определение. Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, заполненная некоторыми математическими объектами, называется – матрицей. Мы будем рассматривать числовые матрицы. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Для обозначения матрицы, как правило, используются круглые скобки. При записи, в общем виде элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, из которых

первый указывает номер строки, а второй – номер столбца матрицы. Например, матрица . . В сокращенной записи: А=(аij); где аij - действительные числа, i=1,2,…m; j=1,2,…,n (кратко , . ). Произведение называют размером матрицы. Матрица называется квадратной порядка n, если число ее строк равно числу столбцов и равно n: Упорядоченный набор элементов а11,а22,…,аnn называется главной диагональю, в свою очередь, а1n,а2,n-1,…,аn1 – побочной диагональю матрицы.

Квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют условию: называется диагональной, т.е. диагональная матрица имеет вид: Диагональная матрица порядка n называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны 1. Матрица любого размера называется нулевой или нуль матрицей, если все ее элементы равны нулю. Единичная матрица обозначается буквой Е, нулевая – О. Матрицы имеют вид: . Линейные операции над матрицами

Определение. Суммой матриц А=(аij) и B=(bij) одинаковых размеров называется матрица С=(сij) тех же размеров, такая что cij=aij+bij для всех i и j. . Таким образом, чтобы сложить матрицы А и В, надо сложить их элементы, стоящие на одинаковых местах. Например, A + B = = C Определение. Произведение матрицы А на число  называется матрица А=( аij), получаемая умножением всех элементов матрицы А на число . Например, если и =5, то Разность матриц А и В

можно определить равенством А-В=А+(-1)В. Рассмотренные операции называются линейными. Отметим некоторые свойства операций. Пусть А,В,С – матрицы одинакового размера; , - действительные числа. А+В = В+А – коммутативность сложения. (А+В)+С = А+(В+С) – ассоциативность сложения. Матрица О, состоящая из нулей, играет роль нуля: А+О=А. Для любой матицы А существует противоположная –А, элементы которой отличаются от элементов А знаком, при