Алгебра октав — страница 8

  • Просмотров 8469
  • Скачиваний 74
  • Размер файла 272
    Кб

biD1K+cja1+cjb1i+cjc1j+cjd1k+cjA1E+cjB1I+cjC1J+cjD1K+dka1+dkb1i+dkc1j+dkd1k+dkA1E+dkB1I+dkC1J+dkD1K+AEa1+AEb1i+AEc1j+AEd1k+AEA1E+AEB1I+AEC1J+AED1K+ BIa1+BIc1j+BId1k+BIA1E+BIB1I+BIC1J+BID1K+CJa1+Cjb1i+CJc1j +CJd1k+CJA1E+CJB1I+CJC1J+CJD1K+Dka1+DKb1i+DKc1j+DKd1k+DKA1E+DKB1I+DKC1J+DKD1K=aa1+ab1i+ac1j+ad1k+aA1E+aB1I+aC1J+aD1K+bia1-bb1+bc1k-bd1j-bA1I+bB1E+bC1K+bD1J+cja1-cb1k-cc1+cd1i-cA1J+cB1K-Cc1E +cD1I+dka1+db1j-c1di-dd1+dA1K-dB1J+dC1I-dD1E+AEa1-Ab1I-Ac1J-Ad1K-AA1+Ab1i+AC1j+AD1k+Bia1+Bb1E-Bc1K+Bd1J-Ba1i-BB1-BC1k+BD1j+CJa1+Cb1K-Cc1E-Cd1I-CA1j+CB1k-CC1-CD1i+DK1a-Db1J-Dc1I+Dd1E-DA1k-DB1j+DC1i-DD1=aa1-bb1-cc1-dd1-AA1-BB1-CC1-DD1+i(ab1+ba1+cd1-dc1+AB1-BA1-

-cD1+Dc1)+j(ac1-bd1+ca1+db1+AC1+BD1-CA1-DB1)+k(ad1+bc1-cb1+da1+AD1-BC1+CB1-Da1)+E(aA1-bB1-cC1-dD1+Aa1+Bb1+Cc+Dd1)+I(aB1+bA1-Cd1+dC1-Ab1+Ba1-Cd1-Dc1)+J(ac1+bD1+cA1-dB1-Ac1+Bd1+Ca1-Db1)+K(aD1-bC1+cB1+Da1-Ad1-Bc1+ Cb1 +Da1). Этот результат можно записать в матричной форме: , . Решение примеров: Пример 1. Сложить кватернионы: (1+i-2j+15E-17J)+(-2+5j-17E+20K)= -1+i+3j-2E-17J+20K. Пример 2. Выполнить умножение: (1+3K)(2-i+3j+2E+2K)=2-i+3j+2E+2K+6K-3Ki+9Kj+6KE-6=2-i+3j+2E+8K+3J-9I+6K-6=-4-i+2E-9I+14K. Пример 3. Решить уравнение: (1-2i+4K)x=(2-3j+J)(3-5k+E)-5J+8k. В правой части приведем подобные слагаемые.

(2-3j+J)(3-5k+E)-5J+8k=6-10k+2E-9j+15jk-3jE+3J-5Jk+JE-5J+8k=6-10k+2E-9j+15i-3J+3J-5I-j-5J+8k=6+15i-10j-2k+2E-5I-5J. x=(1-2i+4K )-1(6+15i-10j-2k+2E-5I-5J); x=((1+2i-4K )(6+15i-10j-2k+2E-5I-5J))/21=1/21(6+15i-10j-2k+2E-5I-5J+12i-30-20k+4j-4I-10E-10K-24K-60J-40I-8E-8K+20J-20I)=1/21(-24+27i-6j-22k-16E-69I-45J-442K) §4. Сопряженные октавы и их свойства Определение. Если дана октава w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, то октава = a-bi-cj-dk- Ae-BI-CJ-DK называется сопряженным ему. В случае, когда октава w выражена через кватернионы и и v как u+ ve, то сопряженная ей октава равна= ū- ve. Свойства сопряженных

октав: р + = 2а R (выводится непосредственным сложением октавы р=a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK с сопряженной ей октавой). (a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK)+ (a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)=2a. 2) w=w = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2. В самом деле: w=(u+ ve)(ū- ve) = (uū –(-)v)+(-vu+vu)e = (uū+)+(-vu+vu)e =(|u|2 + |v|2) + 0e = |u|2 + |v|2. Здесь и и v кватернионы u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk. А так как |u|2 = a2 + b2 + c2 + d2, |v|2 = A2 + B2 + C2 + D2, то w=|u|2 + |v|2 = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2. Аналогично доказывается равенство w = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2. 3) w=w= а R. 4)=+ (вычисление левой и правой

частей равенства дает одинаковые значения). В самом деле: w1+ w = (a+bi+cj+dk+( Ae+BI+CJ+DK))+ (a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K); левая часть: =(a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)+(a1-b1i-c1j-d1k- A1e-B1I-C1J-D1K); правая часть: = (a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK); =( a1-b1i-c1j-d1k- A1e-B1I-C1J-D1K); +=(a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)+(a1-b1i-c1j-d1k-A1e-B1I-C1J-D1K). Отсюда следует, что :=+. 5)=. Пусть w = u+ ve, w1 = u1+ v1e, где u, u1 v, v1 - кватернионы. Так как w w1= (u+ ve) ( u1+ v1e) = (uu1 -v) + (v1u+vū1)e, то =+ (v1u+vū1)e= (ū1ū -v) - (v1u+vū1)e. С другой стороны: = (ū1 - v1e) (ū - ve) = (ū1 ū -(- (-v1))+(- vū1 -v1) = (ū1ū -v1) - (vū1 + v1u)e. В силу

совпадения правых частей полученных равенств и следует тождество 5. 6) w+w1=2 (aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD1) R, Если w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, w1 =a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K. Пусть w = u+ ve, w1 = u1+ v1e, где u, u1 v, v1 - кватернионы. Так как w=(u+ ve) (ū1 - v1e) = (u ū1+v)+(- v1u+ v1)e = (u ū1+v)(vu1 –v1u)e а w1=( u1+ v1e) (ū - ve) = (u1ū+v1) + (-vu1+v1u)e, то сложив эти два равенства, получим: w+ w1= (u ū1+v+u1ū+v1) + (- v1u+ vu1 - vu1+v1u)e= (u ū1+u1ū +v +v1) + 0e = u ū1+u1ū +v +v1 . В силу свойства 6) сопряженных кватернионов имеют место: u ū1+u1ū =2 (aa1+bb1+cc1+dd1), v +v1 = 2 (A