Алгебраические расширения полей — страница 2

  • Просмотров 6756
  • Скачиваний 76
  • Размер файла 74
    Кб

Теорема 1.1. Пусть P [x]— кольцо полиномов от х над P и P ()— простое расширение поля P. Пусть  — отображение P[x] на P[] такое, что (f)=f() для любого f из P[x]. Тогда: (а) для любого а из Р  (а) = а; (b) (x) = ; (с)  является гомоморфизмом кольца P [x] на кольцо P []; (d) Ker  ={fP[x]f()=0}; (е) фактор-кольцо P [x]/Кег  изоморфно кольцу P []. Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) непосредственно следуют из определения . Отображение  сохраняет главные

операции кольца P [x], так как для любых f и g из P[x] (f + g)=f()+g(), (fg)= f()g(), (1)=1. Далее, по условию,  есть отображение Р[х] на Р[]. Следовательно,  является гомоморфизмом кольца P [x] на кольцо P []. Утверждение (d) непосредственно следует из определения отображения . Поскольку  — гомоморфизм кольца P [x] на P [], то фактор-кольцо P[x]/Кег  изоморфно кольцу P []. Следствие 1.2. Пусть  — трансцендентный элемент над полем P. Тогда кольцо

полиномов P [x] изоморфно кольцу P []. Доказательство. В силу трансцендентности  над P Ker={0}. Поэтому P[x]/{0} P []. Кроме того, фактор-кольцо кольца P [x] по нулевому идеалу изоморфно P [x]. Следовательно, P [x] P []. 1.2.Минимальный полином алгебраического элемента. Пусть P [x] — кольцо полиномов над полем P. Определение. Пусть  — алгебраический элемент над полем P. Минимальным полиномом элемента , над P называется нормированный полином из

P[x] наименьшей степени, корнем которого является . Степень минимального полинома называется степенью элемента  над P. Легко видеть, что для всякого элемента , алгебраического над P , существует минимальный полином. Предложение 1.3. Если а — алгебраический элемент над полем P, а g и  — его минимальные полиномы над P, то g=. Доказательство. Степени минимальных полиномов g и  совпадают. Если g  , то элемент  (степени n над P) будет

корнем полинома g - , степень которого меньше степени полинома  (меньше n), что невозможно. Следовательно, g=. Теорема 1.4. Пусть  — алгебраический элемент степени n над полем P (P) и g — его минимальный полином над P. Тогда: (а) полином g неприводим в кольце P [x]; (b) если f () = 0, где f  P[x], то g делит f; (с) фактор-кольцо P [x]/(g) изоморфно кольцу P []; (d) P [x]/(g) является полем; (е) кольцо P [] совпадает с полем P (). Доказательство. Допустим, что

полином g приводим в кольце P [x], т. е. существуют в P[x] такие полиномы  и h, что g = h, 1deg , deg h<deg g = n. Тогда g() = ()h() = 0. Так как P () — поле, то ( ) = О или h() = 0, что невозможно, поскольку, по условию, степень элемента  над P равна п. Предположим, что f  P[x] и f() = 0. По условию, g() = 0. Следовательно, f и g не могут быть взаимно простыми. Поскольку полином g неприводим, то g делит f. Пусть  — гомоморфизм кольца P [x] на кольцо P [] ((f)=f()