Алгебраические системы замыканий — страница 6

  • Просмотров 5809
  • Скачиваний 72
  • Размер файла 177
    Кб

оператором  ', и, следовательно, (X) = X '(X) = X. (3) В силу J. 3, (X) = (X); поэтому из (3) вытекает, что  '(X) = (X). Но X(X) и, применяя  ' получаем  '(X) '(X) = (X), а обратное включение следует из соображений симметрии. ▲ Системы замыканий и операторы замыкания могут быть определены на любой полной решётке L и соотношения между ними, установленные в теореме 1, сохраняются. На самом деле теорема 1

является частным случаем соответствующей теоремы (при L = B (A)) для произвольной полной решётки L. Элементы системы D называются замкнутыми множествами множества A, а (X) называется замыканием множества X в A ((X) на самом деле замкнуто в силу J. 3). Как было отмечено, D   является полной решеткой относительно . Точнее, если задано некоторое семейство (Xi)iI в D, то множество ∩Xi будет наибольшим замкнутым множеством,

содержащимся во всех множествах Xi, а ∩{YD | YXi для всех iI} – наименьшим замкнутым множеством, содержащим все множества Xi. §3. Алгебраические системы замыканий Начнем с понятия алгебраической операции. Пусть A – универсальная алгебра с множеством алгебраических операций Ω. Каждая операция ω из Ω имеет определённую арность n, nN{0}. Для любого натурального n n-арная операция ω – это отображение из An в A, то есть каждой упорядоченной n-ке

{a1; …; an}An операция ω ставит в соответствие однозначно определённый элемент ω(a1; …; an) из A. В случае п = 1 это будет любое преобразование множества A (отображение A в себя). Если n = 0, то a0 – это одноэлементное множество и 0-арная операция ω переводит элемент a0 в некоторый элемент ω(a0) = ω из A, то есть 0-арная операция ω фиксирует некоторый элемент в A: является некоторым выделенным элементом алгебры A. Если дана универсальная

алгебра A с множеством алгебраических операций Ω, то подмножество BA называется подалгеброй алгебры A, если оно замкнуто относительно всех операций из Ω. Иными словами, для любого ωΩ, n1, и любых а1, а2, …, апB должно быть ω(а1, а2, …, ап)B. С другой стороны, элементы, отмечаемые в A всеми 0-арными операциями из Ω (если такие существуют), должны содержаться в подалгебре B. Очевидно, что пересечение любой системы подалгебр универсальной

алгебры A, если оно не пусто, будет подалгеброй этой алгебры. Отсюда следует, что если X – непустое подмножество алгебры A, то в A существует наименьшая среди подалгебр, содержащих целиком множество X. То есть существует наименьшая подалгебра в A, содержащая X и она равна пересечению всех подалгебр алгебры A, содержащих X. Обозначим её через и назовём подалгеброй, порожденной множеством X. Стоит отметить, что пересечение подалгебр