Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модуль — страница 6

  • Просмотров 8944
  • Скачиваний 555
  • Размер файла 122
    Кб

простейших функций, содержащих знак абсолютной величины Под простейшими функциями понимают алгебраическую сумму модулей линейных выражений. Сформулируем утверждение, позволяющее строить графики таких функций, не раскрывая модули ( что особенно важно, когда модулей достаточно много ): "Алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочно- линейную функцию, график которой состоит из n +1

прямолинейного отрезка. Тогда график может быть построен по n +2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна -- произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя -- с абсциссой, большей большего из корней. Например: 1)f(x)=|x - 1| Вычисляя функции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двух отрезков(рис.1) 2) f(x)=|x - 1| + |x – 2| Вычисляя значение функиции в точках с абсциссами 1,

2, 0 и 3, получаем график, состоящий из двух отрезков прямых.(рис.2) 3) f(x)=|x - 1| + |x – 2| + |x – 3| Для построения графика вычислим значения функции в точках 1, 2, 3, 0 и 4 (рис.3) 4) f(x)=|x - 1| - |x – 2| График разности строится аналогично графику суммы, тоесть по точкам 1, 2, 0 и 3. рис1. рис2. рис3. рис4. 4.4.Решение нестандартных уравнений, содержащих модули. Пример9. Решить уравнение 3| x + 2 | + x2 + 6x + 2 = 0. Решение.  Рассмотрим два случая. Ответ: (– 4; – 1).

Пример10. Решить уравнение | 4 – x | + | (x – 1)(x – 3) | = 1. Решение. Учитывая, что | 4 – x | = | x – 4 |, рассмотрим четыре случая.   2)   3)  4)  4)  Ответ: 3. Графический способ. Построим графики функций y = |(x–1)(x–3)| и y=1–|x–4 | 1)в Гy = |(x–1)(x–3)| подставим значение х=1 и х=3. Мы получим у=0, тоесть пересечение графика с осью ОХ. При х равном нулю у=3, тоесть график пересекается с осью ОУ в точке (0 ;3). И при х=4 у также равен 3- мы

получили первый график. 2) y=1–|x–4 | Найдем пересечение с осью ОХ, для этого решим простое уравнение: 1-|x-4|=0 |x-4|=1 x - 4=1 или x - 4=-1 x=5 x=3 Следовательно данный график пересекает ось ОХ в точках 5 и 3. При х=4 у=1 и ак видно из графика: графики обеих функций пересекаются в одной точке 3 Ответ: 3 Пример11. Решить уравнение | x2 + 3x | = 2(x + 1). Решение.  Уравнение равносильно системе Ответ: Пример12.Решить уравнение х2 - 4х +|x - 3| +3=0 Для освобождения от

знака абсолютной величины разобьем числовую прямую на две области и будем искать решения исходного уравнения в каждой из этих областей отдельно: __________x ³3__________________|____________x<3_________________ |x – 3|=x – 3 |x – 3|=-x + 3 x2 - 4x + x – 3 + 3=0 x2 – 4x – x + 3 + 3=0 x2 – 3x=0 x2 – 5x + 6=0 x(x – 3) x1=0 или x2=3 D=25 – 4 * 6=1> 0Þдва различ. корня x=0 –посторонний корень, так как x1= (5- 1 )/2 =2 не удовлетворяет промежутку. x2=(5 + 1)/2=3 x=3 - посторонний корень, так как не удовлетворяет