*-Алгебры и их применение — страница 6

  • Просмотров 8500
  • Скачиваний 73
  • Размер файла 171
    Кб

называются эрмитовыми компонентами элемента х. Заметим, что хх* = х12 + х22 + i(х2х1 – х1х2), хх* = х12 + х22 - i(х2х1 – х1х2) так что х нормален тогда и только тогда, когда х1 и х2 перестановочны. Так как е*е = е* есть эрмитов элемент, то е* = е , то есть единица эрмитов элемент. Если А - *-алгебра без единицы, а А΄ - алгебра, полученная из А присоединением единицы, то, положив при хА, мы определим инволюцию в А΄, удовлетворяющую всем требованиям определения

2. Так что А΄ станет *-алгеброй. Говорят, что А΄ есть *-алгебра, полученная из А присоединением единицы. Теорема 1.4. Если х-1 существует, то (х*)-1 также существует и (х*)-1 = (х-1)* Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения х-1х = хх-1 = е, получим х*(х-1)*= (х*)-1х*=е. Но это означает, что (х-1)* есть обратный к х*. Подалгебра А1 алгебры А называется *-подалгеброй, если из хА1 следует, что х*А1 . Непустое пересечение *-подалгебр есть также

*-подалгебра. В частности, пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S А, есть минимальная *-подалгебра, содержащая S. Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре. Теорема 1.5. Если В – максимальная коммутативная *-подалгебра, содержащая нормальный элемент х , и если х-1 существует, то х-1В. Доказательство. Так как х т х* перестановочны со всеми

элементами из В, то этим же свойством обладают х-1 и (х*)-1 = (х-1)*. В силу максимальности В отсюда следует, что х-1В. Определение 1.6. Элемент хА - *-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е, иначе говоря, если х обратим и х = (х*)-1. В примере 1 п.1.2. унитарные элементы – комплексные числа с модулем, равным 1. Унитарные элементы А образуют группу по умножению – унитарную группу А. Действительно, если x и y – унитарные элементы *-алгебры А, то

((хy)*)-1 = (у*х*)-1 =(х*)-1 (y*)-1 = xy, поэтому xy унитарен, и так как ((х-1)*)-1= ((х*)-1)-1 = х-1, то х-1 унитарен. 1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр Определение 1.7. Пусть А и В – две *-алгебры. Назовем гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) А в В такое отображение f множества А в В, что f (x + y) = f (x) + f (y), f (αx) = α f (x), f (xy) = f (x) f (y), f (x*) = f (x)* для любых х,yА, αС. Если отображение f биективно, то f называют изоморфизмом (*-изоморфизмом). Определение 1.8. Совокупность I элементов

алгебры А называется левым идеалом, если: I ≠ A; Из х, yI следует x + y I; Из хI, а αА следует α хI. Если I = А, то I называют несобственным идеалом. Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним. Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй. Пусть I – двусторонний идеал в алгебре А. Два элемента х, y из А назовем эквивалентными относительно идеала I, если х-yI. Тогда вся