*-Алгебры и их применение — страница 7

  • Просмотров 8498
  • Скачиваний 73
  • Размер файла 171
    Кб

алгебра А разбивается на классы эквивалентных между собой элементов. Обозначим через А совокупность всех этих классов. Введем в А1 операции сложения, умножения на число и умножения, производя эти действия над представителями классов. Так как I – двусторонний идеал, то результат операций не зависит от выбора этих представителей. Следовательно, А1 становится алгеброй. Эта алгебра называется фактор-алгеброй алгебры А по идеалу I и

обозначается A/I. *-гомоморфизм алгебр описывается при помощи так называемых самосопряженных двусторонних идеалов. Определение 1.9. Идеал I (левый, правый или двусторонний) называется самосопряженным, если из хI следует х*I. Самосопряженный идеал автоматически является двусторонним. Действительно, отображение х → х* переводит левый идеал в правый и правый идеал в левый; если поэтому отображение х → х* переводит I в I, то I есть

одновременно и левый и правый идеал. В фактор-алгебре A/I по самосопряженному двустороннему идеалу I можно определить инволюцию следующим образом. Если х-yI, то х*-y*I. Поэтому при переходе от х к х* каждый класс вычетов х по идеалу I переходит в некоторый другой класс вычетов по I. Все условия из определения 1.2. выполнены; следовательно, A/I есть *-алгебра. Если х → х΄ есть *-гомоморфизм А на А΄, то полный прообраз I нуля (то есть ядро данного

гомоморфизма) есть самосопряженный двусторонний идеал в А. Фактор-алгебра A/I *-изоморфна *-алгебре А΄. Обратно, отображение х → [х] каждого элемента хА в содержащий его класс вычетов по I есть *-гомоморфизм алгебра А на A/I. § 2. Представления 2.1. Определения и простейшие свойства представлений. Определение 2.1. Пусть А - *-алгебра, Н – гильбертово пространство. Представлением А в Н называется *-гомоморфизм *-алгебры А в *-алгебру

ограниченных линейных операторов L(H). Иначе говоря, представление *-алгебры А в Н есть такое отображение из А в L(H), что π (x+y) = π (x) + π (y), π (α x) = α π(x), π (xy) = π (x) π (y), π (x*) = π (x)* для любых х, y А и α С. Размерность гильбертова пространства Н называется размеренностью π и обозначается dimπ. Пространство Н называется пространством представления π. Определение 2.2. Два представления π1 и π2 инволютивной алгебры А в Н1 и Н2 соответственно,

эквивалентны (или унитарно эквивалентны), если существует унитарный оператор U, действующий из гильбертова пространства Н1 в гильбертово пространство Н2, переводящий π1(х) в π2(х) для любого хА, то есть U π1(х) = π2(х) U для всех х А. Определение 2.3. Представление π называется циклическим, если в пространстве Н существует вектор f такой, что множество всех векторов π (х)f (для всех хА) плотно в Н. Вектор f называют циклическим (или