Алгоритм компактного хранения и решения СЛАУ высокого порядка — страница 3

  • Просмотров 7750
  • Скачиваний 512
  • Размер файла 199
    Кб

как сумму первых r уравнений (которые называются линейно независимыми или базисными), взятых с некоторыми коэффициентами. Тогда система эквивалентна следующей системе r уравнений с n неизвестными Предположим, что минор r-го порядка, составленный из коэффициентов при первых r неизвестных, отличен от нуля Мr 0, т. е. является базисным минором. В этом случае неизвестные, коэффициенты при которых составляют базисный минор, называются

базисными неизвестными, а остальные n - r - свободными неизвестными. В каждом из уравнений системы (4) перенесем в правую часть все члены со свободными неизвестными xr+1,..., xn. Тогда получим систему, которая содержит r уравнений с r базисными неизвестными. Так как определитель этой системы есть базисный минор Mr то система имеет единственное решение относительно базисных неизвестных, которое можно найти по формулам Крамера. Давая

свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим общее решение исходной системы. Однородная система линейных уравнений. Пусть дана однородная система линейных уравнений n неизвестными Так как добавление столбца из нулей не изменяет ранга матрицы системы, то на основании теоремы Кронекера - Kaneлли эта система всегда совместна и имеет, по крайней мере, нулевое решение. Если определитель системы (5) отличен от нуля и

число уравнений системы равно числу неизвестных, то по теореме Крамера нулевое решение является единственным. В том случае, когда ранг матрицы системы (5) меньше числа неизвестных, т. е. r (А)< n, данная система кроме нулевого решения будет иметь и ненулевые решения. Для нахождения этих решений в системе (5) выделяем r линейно независимых уравнений, остальные отбрасываем. В выделенных уравнениях в левой части оставляем r базисных

неизвестных, а остальные n - r свободных неизвестных переносим в правую часть. Тогда приходим к системе, решая которую по формулам Крамера, выразим r базисных неизвестных x1,..., хr через n - r свободных неизвестных. Система (5) имеет бесчисленное множество решений. Среди этого множества есть решения, линейно независимые между собой. Фундаментальной системой решений называются n - r линейно независимых решений однородной системы

уравнений. Метод главных элементов. Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными расширенная матрица системы (6) apq матрицы , который называется главным элементом, и вычислим множители mi=-aiq/apq для всех строк с номерами ip (р - я строка, содержащая главный элемент, называется главной строкой). Далее к каждой неглавной i-й строке прибавим главную строку, умноженную на соответствующий множитель mi; для этой строки. В результате