Алгоритм компактного хранения и решения СЛАУ высокого порядка — страница 5

  • Просмотров 7751
  • Скачиваний 512
  • Размер файла 199
    Кб

вычислений называется прямым ходом метода Гаусса. Из определяем и т.д. до Реализация прямого метода Гаусса требует арифметических операций, а обратного - арифметических операций. 1.2 Итерационные методы решения СЛАУ Метод итераций (метод последовательных приближений). Приближенные методы решения систем линейных уравнений позволяют получать значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности

некоторых векторов. Процесс построения такой последовательности называется итерационным (повторяющимся). Эффективность применения приближенных методов зависят от выбора начального вектора и быстроты сходимости процесса. Рассмотрим метод итераций (метод последовательных приближений). Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными: Ах=b, (14) Предполагая, что диагональные элементы aii 0 (i = 2, ..., n), выразим xi через первое

уравнение систем x2 - через второе уравнение и т. д. В результате получим систему, эквивалентную системе (14): Обозначим ; , где i == 1, 2, ...,n; j == 1,2,..., n. Тогда система (15) запишется таким образом в матричной форме Решим систему (16) методом последовательных приближений. За нулевое приближение примем столбец свободных членов. Любое (k+1)-е приближение вычисляют по формуле Если последовательность приближений x(0),...,x(k) имеет предел , то этот

предел является решением системы (15), поскольку в силу свойства предела , т.е. [4,6]. Метод Зейделя. Метод Зейделя представляет собой модификацию метода последовательных приближений. В методе Зейделя при вычислении (k+1)-го приближения неизвестного xi (i>1) учитываются уже найденные ранее (k+1)-е приближения неизвестных xi-1. Пусть дана линейная система, приведенная к нормальному виду: (17) Выбираем произвольно начальные приближения

неизвестных и подставляем в первое уравнение системы (17). Полученное первое приближение подставляем во второе уравнение системы и так далее до последнего уравнения. Аналогично строим вторые, третьи и т.д. итерации. Таким образом, предполагая, что k-е приближения известны, методом Зейделя строим (k+1)-е приближение по следующим формулам: где k=0,1,...,n Метод Ланцоша. Для решения СЛАУ высокого порядка (1), матрица, коэффициентов которой

хранится в компактном нижеописанном виде, наиболее удобным итерационным методом является метод Ланцоша [4], схема которого имеет вид: (18) где Преимуществом данного метода является его высокая скорость сходимости к точному решению. Кроме того, доказано, что он обладает свойством «квадратичного окончания», т.е. для положительно определенной матрицы можно гарантировано получить точное решение при количестве итераций . Размер