Алгоритмы с многочленами — страница 2

  • Просмотров 6148
  • Скачиваний 84
  • Размер файла 811
    Кб

многочленом n-ной степени от неизвестного х. Многочленом называется лишь выражение вида (1.2), то есть лишь сумма целых неотрицательных степеней неизвестного x, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами. В частности, мы не будем считать многочленами такие выражения, которые содержат неизвестное x с отрицательными или дробными показателями. Для сокращенной записи многочленов употребляются символы f(x), g(x) и так далее. 2. Деление

многочленов Теория многочленов в определенном отношении похожа на теорию целых чисел, хотя внешне эти две теории не имеют ничего общего. Внутренняя же близость, схожесть этих теорий объясняется тем, что для многочленов, так же как и для целых чисел, можно определить деление и, что еще более важно, деление с остатком. 2.1. Делимость многочленов. Свойства делимости Многочлен делится на многочлен , если существует такой многочлен ,

что выполняется равенство (2.1) Например, из равенства следует, что делится на многочлен и на многочлен . Многочлен в равенстве (2.1) определяется однозначно. Если бы существовал многочлен , удовлетворяющий равенству (2.1), то мы получили бы, что (2.2) откуда Но многочлен по условию ненулевой, и в силу утверждения или нулевом является многочлен , т.е. многочлен совпадает с . Многочлен в равенстве (2.1) называется частным от деления на , а –

делителем. Укажем некоторые основные свойства делимости многочленов. 1. Если делится , а делится на , то будет делиться на . В самом деле, по условию и , а поэтому . 2. Если и делятся на , то их сумма и разность также делятся на . Из равенств и вытекает . 3. Если делится на , то произведение на любой многочлен также будет делиться на . Если , то . Из 2. и 3. вытекает следующее свойство: 4. Если каждый из многочленов делится на , то на будет делиться

и многочлен , где - произвольные многочлены. 5. Всякий многочлен делится на любой многочлен нулевой степени. Если , а с - произвольное число, не равное нулю, то есть произвольный многочлен нулевой степени, то . 6. Если делится на , то делится и на с, где с – произвольное число отличное от нуля. Из равенства следует равенство . 7. Многочлены , , и только они будут делителями многочлена , имеющими такую же степень, что и . Действительно, . То

есть делится на . Если делится на , причем степени и совпадают, то степень частного от деления на должна быть равной нулю, то есть , , откуда . Отсюда вытекает следующее свойство: 8. Тогда и только тогда многочлены , одновременно делятся друг на друга, если , . Из 1. и 8. вытекает свойство: 9. Всякий делитель одного из двух многочленов , , где , будет делителем и для другого многочлена. Свойства делимости многочленов могут быть применены для