Аналитический метод в решении планиметрических задач — страница 10

  • Просмотров 6624
  • Скачиваний 67
  • Размер файла 388
    Кб

биссектриса I и III координатных углов. 1.7. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ В этом разделе изучаются линии второго порядка, задаваемые в некоторой аффинной системе координат на плоскости алгебраическими уравнениями второй степени. Одна такая линия нам уже известна: это – окружность. Мы начнем с рассмотрения дальнейших конкретных примеров таких линий -эллипса, гиперболы и параболы. Эти замечательные кривые

были известны ещё древнегреческим математикам, начиная с IV в. до н.э. в связи со знаменитой задачей об удвоении куба, которую можно рассматривать как задачу о нахождении точки пересечения двух парабол х2 = у и у2 = 2х. В частности, Аристей в работе «О пространственных местах» уже рассматривал три различных типа конических сечений: эллипс, гиперболу и параболу. Основополагающий вклад в изучение этих линий внес Апполоний из Перги

(около 260 – 177 гг. до н.э.). Его знаменитый трактат из восьми книг «О конических сечениях», из которого до нас дошли семь (известна реконструкция восьмой книги, предложенная современником И. Ньютона знаменитым астрономом Э. Галлеем) по своей фундаментальности сопоставим разве что с трактатом Евклида «Начала», написанном в III в. до н.э. Он установил многие важные свойства этих кривых, в частности, как канонических сечений, дал им

современные названия «эллипс» - недостаток, «гипербола» - избыток (по отношению к некоторым свойствам параболы). Эта работа Аполлония по существу явилась идейным истоком аналитической геометрии. Декарт, когда в своей книге «Геометрия» (1637 г.) он использовал систему алгебраических обозначений, пришедшую с арабского востока (и которой мы пользуемся до сих пор!). Идею использовать алгебру при изучении геометрических фигур

высказывал также другой современник Декарта Пьер Ферма. Именно он впервые установил, что уравнения первой степени задают прямые, а второй – конические сечения. Определение. Эллипсом называется совокупность всех точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек этой плоскости (называемых фокусами эллипса), есть величина постоянная. Пусть F1, F2 –данные точки и расстояние между ними . Введем на плоскости декартову

систему координат, приняв за ось Ох прямую (F1F2), а за ось Оу – прямую, проходящую через середину О отрезка перпендикулярно оси Ох. Назовем эту систему координат канонической для рассматриваемого эллипса. Теорема. В канонической системе координат уравнение Эллиса может быть записано в виде (оно называется каноническим уравнением эллипса): . (1) Доказательство. В канонической системе координат имеем F1 (-с, 0), F2 (с, 0). Для составления