Анализ дифференциальных уравнений

  • Просмотров 1425
  • Скачиваний 56
  • Размер файла 220
    Кб

Лекция: Анализ дифференциальных уравнений Содержание 1. Основные понятия 2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 2.1 Равноускоренное движение 2.2 Геометрические задачи 3. Дифференциальные уравнения первого порядка 3.1 Уравнения с разделяющимися переменными 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную х, неизвестную функцию y=y (x) и ее производные y’, y’’,.y

(n) F (x, y, y', y’’,.y (n)) = 0. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок входящей в него производной. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=y (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Например, уравнение y’’=y’ представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, а функции y (x) = C1ex + C2 являются его решениями при любых постоянных C1 и C2. Процедура поиска

решения дифференциального уравнения называется его интегрированием, а графики его решений - интегральными кривыми. Всякое дифференциальное уравнение порядка n имеет бесчисленное множество решений. Все эти решения определяются функцией, содержащей n произвольных постоянных y =φ (x,C1,C2.Cn). Эта совокупность решений называется общим решением дифференциального уравнения. Частным решением дифференциального уравнения называется

всякая функция этого семейства, отвечающая конкретному набору постоянных C1,C2.Cn. Геометрически общее решение дифференциального уравнения представляет собой семейство интегральных кривых плоскости XOY, а частное решение - конкретную кривую этого семейства. Например, непосредственным дифференцированием легко проверить, что общим решением дифференциального уравнения yy x 0 является функция y . То есть, общее решение

уравнения - это семейство окружностей x 2 + y2 = C2, а Начальными условиями для дифференциального уравнения порядка n называется набор значений функции y (x) и ее производных порядка n-1 включительно y (x), y (x),.y (n1) (x) в некоторой точке x0. Задачей Коши называется задача об отыскании решения дифференциального уравнения F (x, y, y, y,.y (n)) 0, удовлетворяющего заданным начальным условиям: y (x0) = y0, y’ (x0) = y1, y’’ (x0) =y2,.y (n-1) (x0) =yn-1 .