Антье и ее окружение

  • Просмотров 924
  • Скачиваний 36
  • Размер файла 118
    Кб

Антье и ее окружение Андреев А.А., Савин А.Н. Антье и ее свойства Целой частью действительного числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x. Обозначается целая часть x символом "[x]". Далее целую часть x будем также называть "антье" (от франц. entire -целый). Например: [3,5]=3, [-3,5]=-4, [3]=3, [-5]=-5. Наряду с целой частью числа существует понятие дробной части числа, которая обозначается "{x}" и определяется

следующим образом: {x} = x-[x]. Так {3,5}=0.5, {-3,5}=-0.5, {5}=0, {-5}=0. Очевидно, что для любого действительного числа x выполняется двойное неравенство:0 Ј {x} < 1. Антье обладает различными свойствами. Перечислим некоторые из них. 1. Если x і 0, то [x] і 0. Если x < 0, то [x] < 0. 2. Если p - целое число, то [x+p] = [x]+p. Так как дробная часть числа x равна дробной части числа x+p, то из равенства {x+p} = {x} следует x+p-[x+p] = x-[x], откуда получаем [x+p] = [x]+p. 3. Для любых двух

действительных чисел a и b справедливо [a+b] і [a]+[b]. Действительно, a = [a]+{a}, b = [b]+{b}. Следовательно, a+b = [a]+[b]+{a}+ {b}. Так как[a] и [b] - целые числа, то по свойству 2 [a+b] = [[a]+ [b]+{a}+{b}] = [a]+[b]+[{a}+ {b}] і [a]+ [b], потому что {a}, {b} і 0 и по свойству 1 [{a}+ {b}] і 0. Свойство 3 распространяется также на любое конечное число действительных чисел: [a+b+...+w] і [a]+[b]+...+ [w]. 4. Если [x] = [y], то |x-y| < 1. Так как x = [x]+{x}, y = [y]+{y}, то |x-y| = |[x]+{x}-[y]-{y}| = |{x}-{y}| <1. Последнее неравенство следует

из того, что дробная часть числа больше или равна нулю и меньше единицы. Следовательно, разность дробных частей двух чисел больше -1 и меньше 1, а модуль этой разности меньше 1. Отсюда |x-y| < 1. 5. Если n - натуральное число, то для любого действительного x выполняется    [x] n    =    x n    . Так как x = nq+r+a, 0 Ј r < n, a = {x}, то    [x] n    =    nq+r n    =    q+ r n    = q          x n  

 =    nq+r+ n    =    q+ r+ n    = q. Теперь, познакомившись с целой и дробной частью, можно рассмотреть следующий Пример 1. Доказать, что для всех вещественных a и b выполняется неравенство [a]+[a+b]+[b] Ј [2a]+[2b]. Решение. Пусть [a+b] = [a]+[b]+e3; [2a] = 2[a]+e1; [2b] = 2[b]+e2; где ei - целое. Покажем, что e3 равно 0 или 1. Имеет место неравенство -1 = a+b-1-a-b < [a+b]-[a]-[b] < a+b-a+1-b+1 = 2. Отсюда получаем, что -1 < e3 < 2, откуда e3 = 0 или e3 = 1, то же верно для e1, e2.