Аппроксимация функций — страница 2

  • Просмотров 1407
  • Скачиваний 40
  • Размер файла 73
    Кб

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЕЙ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами (xi,yi), i=0,1,2,...n, где n - общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности. При аппроксимации желательно получить относительно простую

функциональную зависимость (например, полином), которая позволила бы "сгладить" экспериментальные погрешности, получить промежуточные и экстраполяционные значения функций, изначально не содержащиеся в исходной табличной информации. Графическая интерпретация аппроксимации. Эта функциональная (аналитическая) зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. Критерием

точности или достаточно "хорошего" приближения могут служить несколько условий. Обозначим через fi значение, вычисленное из функциональной зависимости для x=xi и сопоставляемое с yi. Одно из условий согласования можно записать как S = (fi-yi)  min , т.е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых x=xi должна быть минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь разные знаки, поэтому достаточная точность

в ряде случаев не достигается. Использование критерия S = |fi-yi|  min , также не приемлемо, т.к. абсолютное значение не имеет производной в точке минимума. Учитывая вышеизложенное, используют критерий наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость, при которойS =  (fi-yi)2 , (1) обращается в минимум. В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен f(x)=C0 + C1X + C2X2+...+CMXM. (2) Формула (1) примет вид S = ( C0 + C1Xi +

C2Xi2+...+CMXiM - Yi ) 2 Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по независимым переменным С0,С1,...СМ : SC0 = 2  ( C0 + C1Xi + C2Xi2+...+CMXiM - Yi ) = 0 , SC1 = 2  ( C0 + C1Xi + C2Xi2+...+CMXiM - yi ) Xi = 0 ,(3) SCM = 2  ( C0 + C1Xi + C2Xi2+...+CMXiM - Yi ) XiM = 0 , Тогда из (3) можно получить систему нормальных уравнений C0 (N+1) + C1 Xi + C2Xi2 +...+ CM XiM = Yi , C0Xi + C1Xi2 + C2Xi3 +...+ CMXiM+1 = Yi Xi ,(4) C0XiM + C1XiM+1 + C2XiM+2 +...+ CMXi2M = Yi XiM . Для определения коэффициентов Сi и, следовательно, искомой

зависимости (2) необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4). Матрица системы (4) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при ее решении. (N+1) Xi Xi2 ... XiM Yi Xi Xi2 Xi3 ... XiM+1 Yi Xi ... ... ... ... ... ... XiM XiM+1 XiM+2 ... Xi2M Yi XiM Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (4а) достаточно вычислить только элементы первой строки и двух последних столбцов,