Аппроксимация непрерывных функций многочленами — страница 10

  • Просмотров 4551
  • Скачиваний 43
  • Размер файла 649
    Кб

заполняющих некоторый промежуток, содержащий т.а. Именно для таких функций формула Тейлора позволяет вычислить f(x) с любой степенью точности. Если , то из формулы Тейлора следует: Число слагаемых является неограниченным. Выражение в правой части формулы называют рядом Тейлора, а функцию f(x)- суммой этого ряда. Ряд Тейлора можно записать в таком виде: , при а=0 Выражение в правой части этой формулы называют рядом Маклорена. Получаем:

Условие сходимости: Для разложения f(x) в степенной ряд (т.е. в ряд Тейлора), необходимо и достаточно, чтобы предел остаточного члена формулы Тейлора был равен нулю: Степенной ряд сходится при любых х или говорят, что его областью сходимости является промежуток . Из этих формул видно, что sin(-x)=-sinx, т.е. f(x)=sinx- нечётная функция. cos(-x)=cosx, f(x)=cosx- чётная функция. Примеры разложения функций в степенные ряды. Степенной ряд можно рассматривать

как геометрический с первым членом а=1 и знаменателем q=x. Если , т.е. , то данный ряд сходится. . Мы получили разложение функции в степенной ряд. Этот ряд сходится при . Аналогичными рассуждениями можно установить, что сходится при . Степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать, т.е. обращаться с ним как с многочленом. В формуле (1) заменим x на t и проинтегрируем получившийся ряд на промежутке [0,x]; , Так же заменим x на t в

формуле (2). Получим: Разложение (3) в степенной ряд сходится при . Оно может быть использовано для вычисления логарифмов натуральных чисел. Положим в формуле (3) , где n- натуральное число, 0<x<1, при любом n ряд в правой части этой формулы будет сходится. Пользуясь этой формулой, можно последовательно вычислить Обратимся снова к формуле (2). Полагая , записываем полученный ряд и интегрируем его по отрезку [0,x], 0<x<1. Пусть х=1 в этой

формуле Можно приближённо вычислить . Биномиальный ряд Разложим в ряд Маклорена функцию ; В соответствии с формулой Маклорена: Ряд в правой части называют биномиальным. Можно доказать, что биномиальный ряд сходится при , т.е. областью его сходимости служит интервал (-1,1). Отметим, что ряд (2) является частным случаем этого ряда при . В случае формула принимает вид: все члены, начиная с n+1-го обращаются в 0. В правой части формулы

разложения их остаётся конечное число, ряд обрывается. Эта формула при а=1 является частным случаем бинома Ньютона. Применение рядов в приближённых вычислениях. Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого любые 2 члена с номерами k и k+1 (k=1,2,3..) имеют противоположные знаки. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда выражается следующей теоремой: Теорема1 Знакочередующийся ряд сходится, если модуль его членов