Аппроксимация непрерывных функций многочленами — страница 6

  • Просмотров 4552
  • Скачиваний 43
  • Размер файла 649
    Кб

состоит в том, что она даёт возможность получить для погрешности наилучшего приближения некоторую оценку снизу. Теорема существования. Среди функций Q(x) существует по крайней мере одна, для которой HQ имеет наименьшее значение. Т.о., пусть Н- есть нижняя грань множества всех HQ. По определению, следовательно, существует бесконечная последовательность функций Qi(x), для которой . 2.2. Теорема Чебышева. Функция Р(х), которая из всех

функций вида Q(x) наименее уклоняется в [a,b] от функции f(x), единственна. Эта функция вполне характеризуется таким своим свойством, если она приведена к виду , и , и дробь несократима, то число N последовательных точек интервала [a,b], в котором разность f(x)-P(x) принимает с чередующимися знаками значение Нр, не менее, чем m+n-d+2, где d=, а если P(x)=0, то . Теорема Чебышева показывает, что существует единственная функция P(x), дающая наилучшее

приближение к данной функции f(x) (т.е. наименее отклоняется от f(x)) в данном нормированном пространстве. Случай аппроксимации многочленами. Особенно важным является частный случай, когда S(x)=1, m=0 и интервал [a,b] конечен. В этом случае мы получаем теорему: многочлен n-й степени P(x), который наименее уклоняется (в метрике пространства С) от заданной непрерывной функции f(x), единственен и вполне характеризуется тем, что число

последовательных точек интервала [a,b], в которых разность f(x)-P(x) принимает с чередующимися знаками значение не меньше, чем n+2. 2.3 Переход к периодическим функциям. Допустим, что - есть непрерывная периодическая функция с периодом , которую нужно наилучшим образом аппроксимировать на всей оси при помощи тригонометрической суммы: порядка n. Сделаем замену переменной так, что интервалу будет соответствовать интервал . Т.к. и так как

есть многочлены степени к от , то после преобразования мы получим . Следовательно, наша задача сводится к наилучшему (в интервале ) приближению функции F(x)=f() при помощи выражения вида: . Выражение W2n(x) можно рассматривать как частный случай выражения Q(x), если положить m=0, . Легко видеть, что общие теоремы применимы, и теорема Чебышева гласит: тригонометрическая сумма n-го порядка , которая наименее уклоняется на всей оси от заданной

непрерывной периодической функции, единственна и вполне характеризуется тем, что число последовательных точек интервала (или какого- нибудь открытого полуинтервала длиной 2), в которых разность принимает с чередующимися знаками значение max|| не меньше, чем 2n+2. Одну и ту же функцию f(x) в (0,) можно разложить в ряд по sin, по cos, по sin и cos, т.к. если f(x) определена на (0,), то доопределить f(x) на можно бесконечным множеством способов.