Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа — страница 10

  • Просмотров 5089
  • Скачиваний 43
  • Размер файла 1036
    Кб

переходы из состояния Найти точное аналитическое решение системы (3.1) практически невозможно, но можно решить асимптотически в условиях большой задержки, то есть при. Первое приближение Для асимптотического решения системы (3.1) сделаем замену переменных. В результате замены производится переход от дискретной переменной к непрерывной переменной. В новых обозначениях. Тогда система (3.1) примет вид    (3.2) Получим вид

решения системы (3.2), которую будем решать в два этапа. 1 этап. Считая и предполагая, что, будем иметь    (3.3) . Выразим через функцию и получим       (3.4) где - асимптотическая плотность нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов. Обозначим    (3.5) Заметим, что из системы (3.3) следуют равенства (3.6) . Осталось найти вид функции. Для этого перейдем ко второму этапу. 2 этап. В системе (3.2) разложим

функции по приращению аргумента, ограничиваясь слагаемыми порядка, получим систему    (3.7) Просуммируем полученные уравнения, поделим на и перейдем. Тогда будем иметь .    (3.8) С учетом того, что равенство (3.8) принимает вид .       (3.9) Таким образом мы получили, что удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка с коэффициентом переноса равным, и нулевым коэффициентом диффузии. Из определения для коэффициента

переноса можно сделать вывод, что, то есть зависит от времени и – имеет смысл асимптотического среднего, в ее окрестности достаточно долго флуктуируют значения нормированного процесса. Второе приближение Зная асимптотическое среднее, найдем распределение вероятностей значений отклонения от его среднего. Для этого в исходной системе уравнений (3.1) сделаем замену переменных,,,. В новых обозначениях производная равна. Будем

иметь (3.10) Решение системы (3.10) аналогично решению системы (3.2), но проводится в три этапа. 1 этап. В системе дифференциальных уравнений (3.10) положим и найдем решение в виде  (3.11) где – асимптотическое распределение нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов в окрестности асимптотического среднего. Перейдем ко второму этапу. 2 этап. Неизвестные функции будем искать с точностью до форме       (3.12) где

имеют вид аналогичный (3.5), где в качестве выступает и для них справедливы равенства (3.7). Найдем вид функций. С точностью до (3.10) запишем  (3.13) В уравнения (3.13) подставим в форме (3.12), уничтожим подобные слагаемые и получим систему неоднородных линейных алгебраических уравнений относительно функций вида , ,  (3.14) Система (3.14) будет иметь решение, если. Из уравнения Фоккера-Планка (3.9) мы знаем, что. Таким образом, можно сделать вывод,