Асимптотика решений дифференциальных уравнений — страница 7

  • Просмотров 5483
  • Скачиваний 76
  • Размер файла 455
    Кб

нормали в точке (х, у, z) к фазовой траектории системы (2.2), проходящей через эту точку. Уравнение этой поверхности имеет вид: Следовательно, точка (х, у, z, h) эвклидова пространства £"2+z переменных х, у, z, h удовлетворяет системе Левые части системы (2.5) определены и непрерывны вместе со всеми своими частными производными в области Г: (#, у, z) £ G, —ос <^ /г<^оо. Якобиан системы (2.5) отличен от нуля в точке (х, у, z, /г), так как точка (х,?/, z) не

является положением равновесия системы (2.2). Поэтому, по теореме о неявных функциях, в некоторой окрестности Г° точки (х, у, z, h) (Г°С Г) система (2.5) разрешима относительно х и у: причем являются однозначными функциями от /г, zi,..., zx, непрерывными по совокупности этих переменных вместе со всеми своими первыми частными производными. Следовательно, целые фазовые траектории системы (2.2), проходящие через точки составляют искомую

окрестность G траектории (2.4). Пусть — решение системы (2.2) с начальными условиями Решение (2.6) системы (2.2) является периодическим, поскольку описывает замкнутую траекторию (2.3). Тогда, полагая получим: 2. Изучение системы (2.1). Исследуем решение системы (2.1) с начальными условиями на конечном промежутке времени Uo, L]. Имеет место ТЕОРЕМА 1. Пусть функции 1 определены и непрерывны в вместе со всеми своими частными произвооными до

второго'порядка включительно, а функции непрерывны в вместе со всеми своими первыми частными производными. Тогда существует число такое, что при любом на конечном промежутке времени [to, L]: 1) решение системы (2.1) остается в G и функции h с точностью до величин порядка О (г) совпадают соответственно с функциями представляющими собой решение следующей автономной системы не зависящих от е обыкновенных дифференциальных уравнений,

правые части которых выражаются через правые части системы (2.1): циал дуги фазовой траектории (2.3), интегрирование ведется при произвольно фиксированной паре Предполагаем, что решение системы (2.8) имеет начальные значения 2) Функции х (I, е), у (г, е) с точностью до величин порядка О (е) совпадают соответственно с функциями Здесь ф0 определяется из соотношений постоянная величина, v (t, e) — решение уравнения: Доказательство. Прежде всего

установим ряд свойств решения (2.6) системы (2.2), имеющих место при тех требованиях гладкости, которые указаны в формулировке теоремы 1. Свойство 1. Периодом решения (2.6) является функция следовательно, эта функция непрерывна в Gh вместе со всеми своими частными производными до второго порядка включительно. Действительно, из (2.2) следует соотношение интегрирование которого дает формулу (2.9). Из указанной в условиях теоремы гладкости