Атомические разложения функций в пространстве Харди — страница 8

  • Просмотров 4246
  • Скачиваний 42
  • Размер файла 812
    Кб

учитывая, что, получим 3). Свойства 1)-3) доказаны. Тем самым установлено, что из условия г) в теореме 5 следует б). Для завершения доказательства теоремы 5 достаточно показать, что из в) вытекает г). Пусть(,,) и . Тогда по теореме 4,и надо доказать только, чтодля п.в.. Так как ядро Пуассона - действительная функция, мы можем утверждать, что прии ,. С другой стороны, из 2), 8) и (37) вытекает, что для любого, ,. (45) Согласно теореме 1 . (46) Кроме того, в силу

утверждения 2, из сходимости() следует сходимость по мере функцийк. Таким образом, по мере (), а потому , учитывая (46),для п.в.. Теорема 5 доказана. Следствие 1. а) Если, то; б) еслии, то; в) если,,,, то . (47) Доказательство. Соотношения а) и б) сразу следуют из эквивалентности условий а) и г) в теореме 5. Чтобы получить в), положим , . Согласно теореме 5,, а следовательно,. Но тогда (для п.в.), и из определения классамы получим, что . (48) Из (48)

непосредственно вытекает равенство (47). Замечание 3. Если, то в силу п. г) теоремы 5 и утверждения 2 пространствосовпадает с. Для р=1 это не так. Пространствоуже, чем, и состоит согласно п. г) теоремы 5 из функций, для которых и. - банахово пространство с нормой . (49) Полнотас нормой (49) следует из утверждения 2 и полноты пространства: еслипри, то,,, и так какпо мере при, тоипри. Замечание 4. Согласно замечанию 3 равенство (47) выполняется, в

частности, в случае, когда,,,. Отметим также, что, взяв в (47) вместофункциюи учитывая б), мы получим , если. (50) §I.4.Произведение Бляшке, нетангенциальная максимальная функция. Пусть последовательность ненулевых комплексных чисел (не обязательно различных) -удовлетворяет условию ,,. (51) Рассмотрим произведение(произведение Бляшке) . (52) Для фиксированного,, приимеет место оценка . (53) Так как ряд (51) сходится, то из (53) легко вывести, что

произведение (52) сходится абсолютно и равномерно в круге, т.е. функцияаналитична в единичном круге и имеет нули в точках,, и только в этих точках. При этом, пользуясь неравенством(,), мы находим ,. (54) Допустим теперь, что() - нули некоторой функциис, причем каждый из них повторяется со своей кратностью. Докажем, что ряд (51) сходится. Положим , Функция() аналитична в круге радиуса больше единицы, и, если. Следовательно,и согласно п.3 теоремы

4. Но тогда и ,(55) Так как,, то из (55) вытекает сходимость произведения, а значит, и сходимость ряда (51). ОпределениеI.6. Пусть- аналитическая в кругефункция и,() - ее нули, повторяющиеся со своей кратностью. Пусть также- кратность нуля функциипри. Произведение (56) называется произведением Бляшке функции. Справедлива Теорема 6. Каждая функцияпредставима в виде , гдене имеет нулей в кругеи ,, а- произведение Бляшке функции. Доказательство.