Бернулли — страница 10

  • Просмотров 5367
  • Скачиваний 45
  • Размер файла 66
    Кб

важную роль в прогрессе анализа. Как уже говорилось, лекции и материалы, полученные Лопиталем в письмах И. Бернулли (они переписывались с 1692 г. в течение десяти лет), послужили Лопиталю основой при написании им «Анализа бесконечно малых». Лекции И. Бернулли, «Анализ» Лопиталя содержали небольшой набор основных аналитических понятий, иллюстрируемых чертежами, теорем и правил и множество задач геометрического, механического и

физического характера. Лекции по дифференциальному исчислению начинаются следующими постулатами: «1. Величина, уменьшенная или увеличенная на бесконечно меньшую величину, не уменьшается, не увеличивается. 2. Всякая кривая линия состоит из бесконечно многих прямых, которые сами бесконечно малы. 3. Фигура, заключенная между двумя ординатами, разностью абсцисс и бесконечно малым куском любой кривой, рассматривается как

параллелограмм». Сразу же за вступлением И. Бернулли пишет: «Из предыдущего известно, что dx есть дифференциал х, что хdх есть дифференциал ½*х2 или ½*x2 плюс или минус постоянная, x2dx — дифференциал 1/3*x3 плюс или минус постоянная... также аdх — дифференциал ах и т. д., axdx – дифференциал ½*ax2 ах3dx— дифференциал ¼*ax4 и т. д.” После этого дается общее правило: «ахp есть дифференциал количества axp+1/(p+1). Иными словами: ∫хpdx = хp+1/(р+1)*(+С). И. Бернулли

применяет это правило к случаю P=-1 и получает ∫ dx/x = ∞. Однако впоследствии он исправляет ошибку. Затем рассматриваются некоторые вариации общей формулы: случаи, когда можно выделить дифференциал подкоренного выражения, и т. д. Вторая лекция посвящена вычислению площадей. И в этом вопросе И. Бернулли развивал идеи Лейбница и писал: « Площади рассматривают как разложенные на части, каждую из которых можно считать дифференциалом

площади. Если имеют интеграл этого дифференциала, т. е. сумму этих частей, то отсюда будет известна и искомая квадратура». После обсуждения различных способов разбиения фигуры И. Бернулли делает заключение: когда частичные площадки ограничены ординатами и кривой, дифференциал каждой из них будет уdх. Если кривая задается, то у выражается через х вполне определенно, и уdх будет «полностью выражаться через х». Он приводит пример:

дана парабола у2=ах; дифференциал площади будет √ах dх, его интеграл 2/3х√ах, или 2/3xу. С необычайной простотой И. Бернулли нашел результат, считающийся важнейшим достижением геометрии древних, состоящий в том, что площадь сегмента параболы равна 2/3 площади соответствующего прямоугольника ху. Содержание следующих лекций весьма разнообразно: квадратуры площадей, кривых, «обратные задачи», соприкасающиеся кривые и эволюты,