Бернулли — страница 11

  • Просмотров 4991
  • Скачиваний 44
  • Размер файла 66
    Кб

каустики; завершают книгу пять лекций, посвященных решению физико-механических задач, в том числе задачи и цепной линии — одной из первых задач механики нити. Поражает в тех и других лекциях, кроме содержания, высочайшее методическое мастерство. Все в них все как у опытного лектора, хотя ему было всего 24 года. И лекций по анализу бесконечно малых до него не читал никто. Мало займет места изложение широко известного правила

Лопиталя, но следует его выделить среди общего рассмотрения творчества И. Бернулли. В письме 22 июля 1694 г. И. Бернулли ответил Лопиталю на вопрос о том, как следует поступать, когда необходимо найти значение неопределенности вида О/О. И сообщил геометрическое доказательство высказанному правилу. Оно вошло в учебник Лопиталя «Анализ бесконечно малых». Лопиталь формулирует задачу так: «.Пусть величина ординаты у кривой АМD (АР=х,

РМ=у, АВ=а) выражается дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при х=а, т. е. когда точка Р совпадает с данной точкой В. Спрашивается, какой должна быть при атом величина ординаты ВD». Решение задачи выглядит так. На общей «оси» строятся кривые АNВ и СОВ, причем ордината РN входит в числитель, а РО — в знаменатель дроби для всех РМ, так что РМ=АМ•РN/РО. Обе кривые пересекаются в точке В, поскольку, по предположению,

величины РN и РО обращаются в нуль, когда точка Р совпадает с В. Затем вводится ордината bd, близкая к ВD и пересекающая кривые в точках f и g. Для нее будет Bd=AB*bf/bg, что не отличается от ВD в силу одного из основных допущений, выдвинутых автором, о том, что если имеются две величины, отличающиеся друг от друга на бесконечно малую, то можно брать одну из них вместо другой. Следовательно, необходимо найти отношение bg к bf. Когда АР обращается

в АВ, обе ординаты РN и РО обращаются в нуль, «а когда АР обращается в Аb, ординаты обращаются в bf и bg». Значит, ординаты bf и bg являются дифференциалами кривых АNВ и СОВ в точках В и b. Поэтому для нахождения искомого значения bd иди ВD нужно дифференциал числителя разделить на дифференциал знаменателя, положив х=а=Аb или АВ, «что и требовалось найти»,— заключает Лопиталь. В следующем параграфе правило применяется к нахождению

предельного значения y = (√2a3x – x4 - a√a2x)/(a - √ax3) при х=а. Лопиталь пишет: нужно дифференциал числителя разделить на дифференциал знаменателя, положив х=а. Получим число 16а/9 «для искомой величины ВD». В августе 1704 г., вскоре после смерти Лопиталя, И. Бернулли выступил с первым печатным заявлением, в котором предъявил претензии на описанные в «Анализе» методы. Это была заметка «Усовершенствование моего опубликованного в “Analyse des infiniment