Бернулли — страница 12

  • Просмотров 4990
  • Скачиваний 44
  • Размер файла 66
    Кб

petits” § 163 метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают». Здесь И. Бернулли рассказал, что правило он сообщил в письме Лопиталю лет 10 назад, а также решил пример, помещенный в § 164, который французские математики и Лопиталь решить не могли. В той же заметке И. Бернулли, «движимый любовью к истине», отметил, что иногда однократное применение правила к цели не приводит, получается опять

неопределенность вида 0/0, поэтому его приходится применять еще один или несколько раз. Одновременно с развитием дифференциального и интегрального исчислений шла разработка методов решения дифференциальных уравнений. В интегрировании уравнений первого порядка были достигнуты значительные успехи. В «Математических лекциях о методе интегралов и о других вопросах, написанных для маркиза Лопиталя» решено однородное уравнение

dy/dx=f(y/x) подстановкой у=хt. Там же изложен метод приведения к однородному уравнения dy/dx=f((ax+by+c/(a1x + b1y + c1)) подстановками x = ξ + h, у = η +h; при этом не упомянут случай ab1-a1b=0. В «Лекциях» И. Бернулли применил интегрирующий множитель к уравнению ахdу—уdх=0. Он умножил члены уравнения на уa-1/x2 и получил d(ya/x;)=0, откуда уa=bх. Непосредственное разделение переменных в этом уравнении И. Бернулли не выполнил, так как считал, что в соответствии с

формулой ∫хndх=хп+1/(n+1) будет ∫dx/x=∞. (Как известно, впоследствии он выражал этот интеграл через ln x.) В письме Лейбницу 4 сентября 1696 г. И. Бернулли показал, что «уравнение Бернулли» dy/dx=р(х)у+q(х)уn сводится заменой у1-n=z к линейному. Из письма Лейбницу в том же году следует, что И. Бернулли проинтегрировал уравнение у=хφ(dу/dх)+ψ(dу/dх), называемое теперь уравнением Лагранжа. Около 1700 г. И. Бернулли применил интегрирующий множитель xk для

последовательного понижения порядка уравнения Эйлера а0хndпу/dхn+а1хп-1dп-1у/dхn-1+ … +аn-1хdу/dх+аny=0. Помимо этого И. Бернулли занимался еще уравнением Риккати и задачей о колебании струны. Статья И. Бернулли «Общий способ построения всех дифференциальных уравнений первого порядка» содержит идею метода изоклин, применяемого при графическом решении уравнений первого порядка. Существо вопроса состоит в следующем. Общему решению у=f(x; С)

дифференциального уравнения первого порядка у'=f(х; у) на плоскости соответствует семейство интегральных кривых. Само уравнение определяет в каждой точке плоскости значение у', т. е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке. Если всюду на плоскости задается значение некоторой величины, то говорят о поле этой величины. Значит, дифференциальное уравнение задает поле уравнений, а задача нахождения общего