Бернулли — страница 5

  • Просмотров 4560
  • Скачиваний 41
  • Размер файла 66
    Кб

дал решение поставленной Лейбницем в 1687 г. задачи о парацентрической изохроне. Необходимо было найти кривую, по которой материальная точка опускалась бы в равные промежутки времени на равные высоты. Я. Бернулли вывел дифференциальное уравнение кривой и проинтегрировал его. При этом он впервые употребил в печати термин «интеграл», указав, что из равенства двух выражений, связывающих дифференциалы, следует равенство

интегралов. В лекциях, читанных Лопиталю, И. Бернулли ход решения излагает так. Пусть искомой кривой будет АDС. Материальная точка за время ∆t перемещается из точки D в точку d и из точки С в точку с. По условию задачи проекции дуг Dd Сс на вертикаль одинаковы. Проведем через D и С касательные к кривой до пересечения с продолжением АF. Отрезки касательных будут DK и CL. Напишем тождество Dd/Сс=Dd/Hc • Hc/Cc. Дуги Dd и Сс малы, поэтому фигуры GDd и

НСс можно считать треугольниками. Из подобия треугольников GDd и DEK, НСс и СFL получим Dd/DG=DK/DE,Сс/Нс=CL/СF. С помощью этих пропорций найдем Dd/Сс=DG1Нс • DК/DЕ • СF/СL. По условиям задачи dG/Нс=1, поэтому Dd1Сс=DК/DЕ • СF/СL. Проведем через точку С прямую СМ, параллельную DК. Тогда DК/DЕ=СМ/СF, Dd/Сс=СМ/СL. Но отношение Dd/Сс равно отношению скоростей (интервал ∆t один и тот же), квадраты же скоростей, по найденному Галилеем закону, относятся как пройденные

высоты; это дает Dd2/Сс2=СМ2/СL2=DЕ/CF, СМ2/СL2 =DЕ/СF. Последнее равенство означает, что если через две произвольные точки кривой провести касательные СL и DК и через точку С провести СМ параллельно DК, то должна выполняться указанная пропорция. Таким свойством обладает искомая кривая. Задача оказалась сведенной к классу обратных задач на касательные: найти кривую, касательные к которой удовлетворяют некоторому требованию. Подобную

задачу впервые предложил Декарту Дебон, и Декарт с ней не справился. Разработанный Лейбницем метод позволяет решать и обратные задачи на касательные. Выберем начало координат в точке А. Обозначим АЕ=х, ЕD=у. Тогда GD=dх, Gd=dу. Обозначим также СF=а, СL=b. Треугольники FСМ и СdD подобны, отсюда Gd/Dd=FС/СМ. Но Dd = √dx2+dy2, поэтому dy/√ dx2+dy2= а/СМ, откуда CM2= (a2dx2+a2dy2)/dy2. Подставим найденное выражение в пропорцию СL2/СM2=СF/СЕ и получим дифференциальное

уравнение b2dy2/(a2dx2+a2dy2)=a/y, b2ydy2-a3dy2=a3dx2, (b2y-а3)dу2 = а3dx2, √b2y-a3 dy=√a3 dx. В уравнении переменные разделены, интегрирование его дает искомую кривую 2b2у — 2а3/3b2 √b2у - а3 == х√а3. Парацентрическая изохрона оказалась полукубической параболой. Вид кривой раньше Я. Бернулли определили Лейбниц и Гюйгенс, но лишь Я. Бернулли дал решение средствами анализа бесконечно малых. В приложении к другой работе о рядах (1694 г.) Я. Бернулли сформулировал несколько