Бернулли — страница 6

  • Просмотров 5369
  • Скачиваний 45
  • Размер файла 66
    Кб

тезисов. 1. Существуют спирали, которые совершают бесконечное число витков вокруг полюса, но имеют конечную длину. 2. Существуют кривые, которые, подобно эллипсу, замкнуты и, подобно параболе, уходят в бесконечность, например ay2=х2(b+х). 3. Существуют кривые, состоящие из двух ветвей, например ау2=х{а2—х2), 4. Существуют неограниченные поверхности с конечной площадью. 5. Существуют неограниченные поверхности с бесконечной площадью, но

такие, что соответствующие им тела вращения обладают конечным объемом. Я. Бернулли увлекался также и изопериметрическими задачами. Древнейшая из них—задача легендарной основательницы Карфагена и его первой царицы Дидоны. Легенда такова. Дидона бежала от отца, тирского царя, и достигла Африки, где купила у туземцев участок земли на берегу моря «не больше, чем можно окружить воловьей шкурой». Она разрезала шкуру на узкие

полоски и связала из них длинную ленту. Спрашивается, какой формы должна быть фигура, оцепленная лентой данной длины, чтобы площадь фигуры была наибольшей? Ван-дер-Варден пишет, что Зенодор, живший вскоре после Архимеда, высказал 14 предложений относительно изопериметрических фигур. Он утверждал, что из всех фигур (кругов и многоугольников), имеющих одинаковый периметр, круг будет наибольшим, а также и то, что из всех

пространственных тел с одинаковой поверхностью наибольшим будет шар. Решение задачи содержится в записных книжках Я. Бернулли и помещено в майском номере «Acta Eruditorum» за 1701 г. Я. Бернулли и здесь применил высказанный ранее принцип: поскольку площадь должна быть экстремальной, этим же свойством должна обладать и любая ее элементарная часть. Он получил дифференциальное уравнение третьего порядка и впоследствии проинтегрировал

его. К. А. Рыбников пишет: «Таким образом, решение изопериметрической задачи означало очень важный, принципиально новый этап в истории вариационного исчисления; оно дало возможность решать более сложные вариационные задачи, им был сделан важный шаг на пути решения вариационных задач». При изучении свойств сочетаний и фигурных чисел Я. Бернулли встретился с суммированием степеней натуральных чисел Sm =  km Эти вопросы

интересовали математиков и ранее. Я. Бернулли составил таблицу фигурных чисел, ука зал их свойства и на основании отмеченных свойств нашел формулы для сумм степеней натуральных чисел. Он привел формулы сумм от S(п) до S(п10): S (n) = n2/2 +n/2 S (n2) = n3/3 + n2/2+ n/6 S (n3) = n4/4 + n3/2 + n2/4 S (n4) = n5/5 + n4/2 + n3/3 – n/30 S (n5) = n6/6 + n5/2 + 5n4/12 - n2/12 S (n6) = n7/7 + n6/2 + n5/2 - n3/6 + n/42 S (n7) = n8/8 + n7/2 + 7n6/12 - 7n4/24 + n2/12 S (n8) = n9/9 + n8/2 + 2n7/3 - 7n5/15 + 2n3/9 – n/30 S (n9) = n10/10 + n9/2 + 3n8/4 - 7n6/10 + n4/2 - n2/12 S (n10) = n11/11 + n10/2 + 5n9/9 – n7