Бернулли — страница 7

  • Просмотров 4565
  • Скачиваний 41
  • Размер файла 66
    Кб

+ n5 - n3/2 + 5n/66 Затем Я. Бернулли указал общую формулу S(nc) = nc+1/c+1 + 1/2*nc + 1/2*( )Anc-1 + 1/4*( )Bnc-3 + 1/6*( )Cnc-5 + 1/8*( )Dnc-7+ … Здесь ( ), ( ) … - числа сочетаний; показатели степени n убывают, последний член в правой части содержит n или n2. Числа A, B, C, D … - коэффициенты при n в выражениях S(n2), S(n4), S(n6), … Именно: А=1/6, В=-1/30, С=1/42, D=-1/30, …Бернулли формулирует общее правило для вычисления этих чисел: сумма коэффициентов в выражениях S(n), S(n2), S(n3), … равна единице. Например,

1/9+1/2+2/3-7/15+2/9+D=1. Отсюда D=-1/30. Я. Бернулли подчеркивает удобство таблицы фигурных чисел и заявляет, что с ее помощью в течение «половины четверти часа» нашел сумму десятых степеней первой тысячи натуральных чисел. Она оказалась равной 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500. II Роль И. Бернулли как одного из создателей, распространителей и, бесспорно, знатоков зарождавшегося тогда математического анализа отражает современная терминология:

название «интегральное исчисление» (от латинского integer — целый, откуда и старинное русское «целственный анализ») ввел И. Бернулли. Как известно, Лейбниц предпочитал называть интеграл «суммой». Это впоследствии породило знак интеграла ∫, который представляет собой вытянутую букву S— первую букву латинского слова summa. И. Бернулли занимался приложением рядов к интегрированию и на этом пути открыл общую формулу разложения в ряд

интеграла от функции n(z) по степеням аргумента: ∫ n(z)dz = nz – z2/2 * dn/dz + z3/6 * d2n/dz2 – z4/24 * d3n/dz3 + … В “Acta Eruditorium” за 1697 г. И. Бернулли поставил задачу о кривых, пересекающих некоторое плоское семейство однопараметрических линий под данным углом или под углом, меняющимся по определенному закону. В первом случае траектории называются изогональными, а если угол прямой, то ортогональными. И. Бернулли указал на возможность применения

полученных закономерностей в теории света Гюйгенса. Через год он показал, что задача отыскания траекторий сводится к дифференциальному уравнению первого порядка. Николай II Бернулли, сын И. Бернулли, в 1720 г. сформулировал задачу о взаимных траекториях, т. е. о траекториях, относящихся к тому же семейству кривых, что и кривые данного семейства. Этой задачей занимался И. Бернулли. Он в 1727 г. в качестве семейства взаимных траекторий

назвал полукубические параболы y3 = ax2. Лейбниц и И. Бернулли нашли метод интегрирования рациональных дробей, которые после выделения целой части они представляли в виде суммы простейших дробей. Осуществление этого метода стало возможным лишь тогда, когда сформировалось понятие логарифмической функции. В связи с интегрированием рациональных дробей в анализ вошли комплексные числа и возник спор о логарифмах отрицательных