Бернулли — страница 9

  • Просмотров 5366
  • Скачиваний 45
  • Размер файла 66
    Кб

отрицательных чисел действительны, и полагал lg (-a) = lg а, так как lg (-1) = 0. Он основывался на том, что из тождества d(-х)/-х=dх/х следует d lg (-х) = d lg х, т. е. lg (-x) = lg х. Приводились и другие аргументы. Перечислим некоторые частные результаты И. Бернулли. Он получил и опубликовал в 1701 г. разложения sin n  и cos n  по произведениям степеней sin n  и cos n . Он первый обнаружил и доказал расходимость гармонического ряда. До сих пор в учебной литературе

находит себе место парадокс И. Бернулли. Запишем таблицу 1/1*2 1/2*3 1/3*4 1/4*5... 1/2*3 1/3*4 1/4*5... 1/3*4 1/4*5... ……………………………. Просуммируем по строкам; найдем S1 = 1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + 1/4*5+...= 1 – ½ + ½ - 1/3 + 1/3 – ¼ + … = 1, S2 = ½ - 1/3 + 1/3 - ¼ +... = 1/2 S3 = 1/3 – ¼ + ¼ - 1/5 + … = 1/3 ……………………………………. Обозначим сумму строк буквой S: S=S1+S2+S3+…=1 + ½ + 1/3 + ... Просуммируем теперь столбцы и сложим результаты; получим 1=1/2, 2=1/3, 3=1/4, …; 1+2+3 + … =1/2+1/3+1/4+ ... = S-1 Получается парадокс: S=S—1.

Все объясняется просто: мы оперируем с расходящимся гармоническим рядом, не имеющим суммы. Продолжим разговор о достижениях И. Бернулли. Он вслед за Я. Бернулли получил формулу для радиуса кривизны в дифференциалах абсциссы и ординаты, которая опубликована в «Анализе бесконечно малых» Лопиталя. И. Бернулли занимался изучением свойств эволют, эвольвент, каустик, касательных, точек перегиба, огибающих, кривизны. Он открыл точку

возврата второго рода, описанную Лопиталем. И. Бернулли выполнил многие квадратуры, спрямления, кубатуры, в качестве приложения методов анализа решил мною геометрических и механических задач, в том числе задачу о парацентрической изохроне. К середине девяностых годов XVII в., т. е. всего через десять лет после появления основополагающего труда Лейбница, усилиями Лейбница и братьев Бернулли идеи дифференциального и интегрального

исчислений достигли такого развития, что появились суждения о завершении анализа в ближайшем будущем. Назрела необходимость собрать воедино и систематизировать разработанные методы с тем, чтобы ими мог пользоваться более широкий круг людей. Эту задачу блестяще выполнил И. Бернулли, написавший в 1691—1692 гг. «Лекции по исчислению дифференциалов» и «Математические лекции о методе интегралов и других вопросах, написанные для

маркиза Лопиталя». Завершение лекций дало возможность писать И. Бернулли в автобиографической заметке, что он «был первым, кто подумал об изобретении метода для перехода от бесконечно малых количеств к конечным, элементами которых эти бесконечно малые суть. Я назвал этот метод интегральным исчислением, не найдя более подходящего слова». Хотя И. Бернулли лекции и не издал, они были доступны французским математикам и сыграли