Бесконечные антагонистические игры — страница 2

  • Просмотров 2100
  • Скачиваний 37
  • Размер файла 163
    Кб

нижней ценой игры величину V1 = M(x, y) или V1 = M(x, y), а чистой верхней ценой игры величину V2 = M(x, y) или V2 = M(x, y), Для матричных игр величины V1 и V2 всегда существуют, а в бесконечных играх они могут не существовать. Естественно считать, что, если для какой-либо бесконечной игры величины V1 и V2 существуют и равны между собой (V1 = V2 = V), то такая игра имеет решение в чистых стратегиях, т.е. оптимальной стратегией игрока 1 есть выбор числа xoX и игрока

2 – числа yoY, при которых M(xo, yo) = V, в этом случае V называется ценой игры, а (xo, yo) – седловой точкой в чистых стратегиях. Пример 1. Игрок 1 выбирает число х из множества Х = [0; 1], игрок 2 выбирает число y из множества Y = [0; 1]. После этого игрок 2 платит игроку 1 сумму M(x, y) = 2х2  y2. Поскольку игрок 2 хочет минимизировать выигрыш игрока 1, то он определяет (2x2  y2) = 2х2  1, т.е. при этом y = 1. Игрок 1 желает максимизировать свой выигрыш, и поэтому

определяет (M(x, y)) = (2х2  1) = 21 = 1, который достигается при х = 1. Итак, нижняя цена игры равна V1 = 1. Верхняя цена игры V2 = ((2х2  y2)) = (2  y2) = 21 = 1, т.е. в этой игре V1 = V2 = 1. Поэтому цена игры V = 1, а седловая точка (1;1). Пример 2. Игрок 1 выбирает хX = (0; 1), игрок 2 выбирает yY = (0; 1). После этого игрок 1 получает сумму M(x, y) = x + y за счёт игрока 2. Поскольку Х и Y  открытые интервалы, то на них V1 и V2 не существуют. Если бы Х и Y были замкнутые интервалы, то,

очевидно, было бы следующее : V1 = V2 = 1 при xo = 1, yo = 0. С другой стороны, ясно, что, выбирая х достаточно близкое к 1, игрок 1 будет уверен, что он получит выигрыш не меньше, чем число, близкое к цене игры V = 1; выбирая y близкое к нулю, игрок 2 не допустит, чтобы выигрыш игрока 1 значительно отличался от цены игры V = 1. Степень близости к цене игры может характеризоваться числом  > 0. Поэтому в описываемой игре можно говорить об оптимальности

чистых стратегий хo = 1, yo = 0 соответственно игроков 1 и 2 с точностью до произвольного числа  > 0. В связи с этим введём следующие определения. Точка (,), где X, Y, в антагонистической непрерывной игре G называется точкой -равновесия , если для любых стратегий xX игрока 1, yY игрока 2 имеет место неравенство М(х,)    M(,)  М(, y) + . Точка -равновесия (,) называется также -седловой точкой функции М(x, y), а стратегии и называются

-оптимальными стратегиями. Эти стратегии являются оптимальными с точностью до  в том смысле, что, если отклонение от оптимальной стратегии никакой пользы игроку принести не может, то его отклонение от -оптимальной стратегии может увеличить его выигрыш не более, чем на . Можно доказать, что для того, чтобы функция М имела -седловые точки для любого >0 необходимо и достаточно чтобы M(x, y) = M(x, y). Если игра G не имеет седловой