Бесконечные антагонистические игры — страница 4

  • Просмотров 2104
  • Скачиваний 37
  • Размер файла 163
    Кб

оптимальных смешанных стратегий, называется ценой игры. По аналогии с матричными играми рассматривается нижняя цена непрерывной игры в смешанных стратегиях V1 = E(F,Q) и верхняя цена игры V2 = E(F,Q). Если существуют такие смешанные стратегии F*(х) и Q*(y) соответственно для игроков 1 и 2, при которых нижняя и верхняя цены непрерывной игры совпадают, то F*(х) и Q*(y) естественно назвать оптимальными смешанными стратегиями соответствующих

игроков, а V1 = V2 = V – ценой игры. Можно доказать, что существование седловой точки в смешанных стратегиях игры G(Х,Y,М) равносильно существованию верхней V2 и нижней V1 цен игры в смешанных стратегиях и их равенству V1 = V2 = V. Таким образом, решить игру G(Х,Y,М) – означает найти седловую точку или такие смешанные стратегии, при которых нижняя и верхняя цены игры совпадают. Теорема 1 (существования). Всякая антагонистическая бесконечная игра

двух игроков G с непрерывной функцией выигрышей М(х,y) на единичном квадрате имеет решение (игроки имеют оптимальные смешанные стратегии). Теорема 2. Пусть – бесконечная антагонистическая игра с непрерывной функцией выигрышей М(х, y) на единичном квадрате и ценой игры V. Тогда, если Q(y) – оптимальная стратегия игрока 2 и для некоторого xo , то xo не может входить в точки спектра оптимальной стратегии игрока 1; если F(х) – оптимальная

стратегия игрока 1и для некоторого yo , то yo не может быть точкой спектра оптимальной стратегии игрока 2. Из теоремы 2 следует, что если один из игроков применяет оптимальную стратегию, а другой – чистую, притом что средний выигрыш игрока 1 отличается от цены игры, то эта чистая стратегия не может войти в его оптимальную стратегию (или она входит в неё с вероятностью нуль). Теорема 3. Пусть в бесконечной антагонистической игре функция

выигрышей М(х,y) непрерывная для х[0; 1], y[0; 1] и М(х, y) = М(y, х), тогда цена игры равна нулю и любая оптимальная стратегия одного игрока будет также оптимальной стратегией другого игрока. Сформулированные свойства оптимальных смешанных стратегий и цены игры помогают находить или проверять решения, но они ещё не дают в общем виде приемлемых методов решения игры. Более того, не существует общих методов для точного нахождения

решения БАИ, и в том числе непрерывных игр на единичном квадрате. Поэтому рассматриваются частные виды антагонистических бесконечных игр. Игры с выпуклыми функциями выигрышей. Игры с выпуклыми непрерывными функциями выигрышей, называемые часто ядром, называются выпуклыми. Напомним, что выпуклой функцией f действительной переменной х на интервале (а,b) называется такая функция, для которой выполняется неравенство f(1 х1 + 2 х2)