Бимедианы четырехугольника — страница 5

  • Просмотров 3955
  • Скачиваний 44
  • Размер файла 216
    Кб

доска», состоящая из белых и черных «клеток» (см. рис. при n = 2). Доказать, что сумма площадей всех белых «клеток» равна сумме площадей всех черных «клеток» (рис.10). Решение. Рис. 10 Из следствия 2 следует, что точки пересечения отрезков на этой доске делят каждый на равные части. Тогда в любом «маленьком» четырехугольнике (рис.10),куда входят ровно две белые и две черные клетки, выполняются условия теоремы о бабочках. Нужное равенство

установлено. Задача 7 . На продолжениях сторон выпуклого четырехугольника ABCD выбраны точки так, что и точка A находится между и B, точка B – между и C, точка C – между и D, точка D – между и A. докажите, что (рис.11). Решение. Рис. 11 ; ; ; ; ; ; Отсюда получаем, что . Задача 8. Пусть L и N – середины противоположных сторон BC и AD четырехугольника ABCD (рис. 12). Доказать, что площадь четырехугольника LPNQ равна сумме площадей треугольников ABP и CQD. Рис. 12

Решение. Покажем, что . В треугольнике ACD медиана CN делит его на два треугольника равной площади, а в треугольнике ABC медиана AL делит его на два равновеликих треугольника. Так как ,то . аналогично устанавливается нужное равенство и для четырехугольника NBLD . Теперь утверждение задачи следует из того, что четырехугольники ALCN и NBLD покрывают внутри четырехугольника ABCD два раза четырехугольник LPNQ и не покрывают треугольники ABP и CQD, а их

сумма их площадей равна площади четырехугольника ABCD. Площадь четырехугольника, с другой стороны, равна сумме площадей шести треугольников (в том числе и треугольников ABP и CQD) и интересующего нас четырехугольника LPNQ. Задача 9. Пусть K, L, M, N – середины сторон (рис. 13) выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что площадь четырехугольника, образованного прямыми CK, AM, BN, DL, равна сумме площадей четырех треугольников, отмеченных на

рисунке 6.\ Рис. 13 Решение. Так как , то из этого следует, что четырехугольники AKCM и BLDN покрывают внутри четырехугольника ABCD два раза четырехугольник, образованный прямыми CK, AM, BN, DL, и не покрывают четыре треугольника, а сумма их площадей равна площади четырехугольника ABCD. Отсюда следует, что площадь четырехугольника, образованного прямыми CK, AM, BN, DL, равна сумме площадей четырех треугольников, отмеченных на рисунке 6. Задача 10.

Противоположные стороны четырехугольника ABCD разделены на три равные части и точки деления попарно соединены (рис.14). Доказать, что одна из площадей получившихся трех четырехугольников равна. Рис. 14 Решение. Докажем, что площадь среднего четырехугольника равна трети площади исходного четырехугольника. Другими словами докажем, что . Чтобы в этом убедиться, достаточно проверить, что . А последнее равенство есть следствие того, что