Биография и труды Колмогорова А.Н. — страница 9

  • Просмотров 4368
  • Скачиваний 42
  • Размер файла 54
    Кб

непрерывности — это единственная аксиома современной теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных событий. Обычно в современной теории вероятностей вероятностным пространством называется только такое вероятностное пространство (Ω, F, P), которое, кроме того, удовлетворяет аксиоме V. Вероятностные пространства в смысле аксиом I—IV Колмогоров предлагал называть вероятностными

пространствами в расширенном смысле (у Колмогорова поле вероятностей в расширенном смысле), в настоящее время этот термин употребляется крайне редко. Заметим, что если система событий F конечна, аксиома V следуeт из аксиом I—IV. Все модели с вероятностными пространствами в расширенном смысле удовлетворяют, следовательно, аксиоме V. Система аксиом I—V является, непротиворечивой и неполной. Напротив, для бесконечных вероятностных

пространств аксиома непрерывности V является независимой от аксиом I—IV. Так как новая аксиома существенна лишь для бесконечных вероятностных пространств, то почти невозможно разъяснить её эмпирическое значение, например, так, как это было проделано с аксиомами элементарной теории вероятности (I—IV). При описании какого-либо действительно наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля — вероятностные

пространства в расширенном смысле. Бесконечные вероятностные пространства появляются как идеализированные схемы действительных случайных явлений. Общепринято молчаливо ограничиваться такими схемами, которые удовлетворяют аксиоме V, что оказывается целесообразным и эффективным в различных исследованиях. 2.4 Бесконечные вероятностные пространства и «идеальные события» Алгебра F событий пространства элементарных событий Ω

называется борелевской алгеброй, если все счётные суммы событий xn из F принадлежат F. В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют σ-алгебрами событий (сигма-алгебрами). Пусть дано вероятностное пространство в расширенном смысле (Ω, F0, P). Известно, что существует наименьшая сигма-алгебра F = σ(F0), содержащая F0. Более того, справедлива теорема (о продолжении). Определённую на (Ω, F0) неотрицательную

счётно-аддитивную функцию множеств P = P(·) всегда можно продолжить с сохранением обоих свойств (неотрицательности и счётной аддитивности) на все множества из F и при этом единственным образом. Таким образом, каждое вероятностное пространство (Ω, F0, P) в расширенном смысле может быть математически корректно продолжено до бесконечного вероятностного пространства (Ω, F, P), которое в современной теории вероятностей принято называть