Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования

  • Просмотров 521
  • Скачиваний 19
  • Размер файла 26
    Кб

Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования Определение динамических свойств объектов с помощью дифференциальных уравнений может быть пока успешно выполнена только для сравнительно простых объектов. Как правило, в редких случаях можно при небольшой затрате времени составить достаточно точное дифференциальное уравнение объекта. В настоящие время при составлении дифференциальных

уравнений элементов и систем регулирования принято пользоваться безразмерными переменными величинами. Для этого отклонения величин относят к каким-либо постоянным (базовым) значениям величин, например к максимальным или средним (номинальным). Выражая входную и выходную величины элемента (или системы) в долях от этих базовых величин, вводят безразмерные координаты. Например, уравнение (С*d (Q) /СC*dt) + Q= 2*I0*R*I/ СC*F (1) I/I = XВХ

характеризует относительное отклонение входной величины от базового значения, а Q/ Q0 = Хвых относительное отклонение выходной величины. Для перехода от размерной формы записи дифференциального уравнения к безразмерной производят замену абсолютных координат относительными. Так, например, уравнение (1) можно записать в безразмерной форме, заменив: Q = Q0 *Хвых и I = I *XВХ Тогда С* Q0* d Хвых / СC* F* dt + Q0 Хвых = 2* I02* R* XВХ/ СC*F Разделив обе

части уравнения на Q0, получим: С* d Хвых / СC* F* dt + Хвых = 2* I02* R* XВХ/ СC*F* Q0 Обозначим: С / СC* F= Т 2* I02* R/ СC*F* Q0 = R Коэффициенты при производных от выходной величины называются постоянными времени и имеют размерность времени В самом деле, Сдж/град / СCвт/см2*град* F см = С / СC* Fдж*см2*град/град*вт*см2 Коэффициент К при XВХ называется коэффициентом усиления, и естественно должен быть безразмерным: 2* I02А2* RОм/ СC вт/см2*град *F см

* Q0град = = 2* I02* R/ СC*F* Q0А2*Ом*см2*град/Вт*см2*град = = 2* I02* R/ СC*F* Q00 = К Уравнение (1) с учетом введённых обозначений будет иметь в безразмерной форме следующий вид: Т* Х/ вых + Х вых = К* Х вх (2) Определим для примера уравнение кривой разгона термической печи, дифференциальное уравнение которой было введено ранее: Т* Х/ вых + Х вых = К* Х вх Будем искать решение этого уравнения в виде Х вых = С*еrt + K* Х вх 0 Где r и С подлежат определению