Динамическое представление данных — страница 3

  • Просмотров 3588
  • Скачиваний 283
  • Размер файла 69
    Кб

должен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых : ¥ S(t) = å h (t) (7) k= - ¥ k В этой сумме отличным от нуля будет только один член, а именно тот, что удовлетворяет условию для t : tk < t < tk+1 Теперь, если произвести подстановку формулы (6) в (7) предварительно разделив и умножив на величину шага D, то ¥ 1 S(t) = å Sk --- [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] D k=- ¥ D Переходя к пределу при D ® 0 , необходимо суммирование заменить интегрированием по

формальной переменной t, дифференциал которой dt ,будет отвечать величине D . Поскольку 1 lim [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] --- D®0 D получим искомую формулу динамического представления сигнала ¥ S (t) = ò s (t) d(t - t) dt - ¥ Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен d - импульс. Принято говорить, что в этом

состоит фильтрующее свойство дельта-функции.[3] Из определения дельта-функции следует (3) . Следовательно, интеграл дельта-функции от - ¥ до t есть единичный скачок , и дельта-функцию можно рассматривать как производную единичного скачка : d(t) = 1’ (t) ; d(t-t0) = 1’ (t-t0) . Обобщенные функции как математические модели сигналов. В классической математике полагают, что функция S(t) должна принемать какие-то значения в каждой точке оси t . Однако

рассмотренная функция d(t) не вписывается в эти рамки - ее значение при t = 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный интеграл. Возникает необходимость расширить понятие функции как математической модели сигнала. Для этого в математике была введено принципиально новое понятие обобщенной функции. В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет ,

то стараемся изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого предмета на всевозможные плоскости. Аналогом проекции исследуемой функции ¦(t) может служить, например, значение интеграла ¥ ò ¦(t) j(t) dt (8) - ¥ при известной функции j(t) , которую называют пробной функцией. Каждой функции j(t) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение. Поэтому говорят, что формула (8) задает некоторый функционал на

множестве пробных функций j(t). Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть (¦, aj1 + bj2) = a(¦,j1) + b(¦,j2). Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций j(t) задана обобщенная функция ¦(t) [4]. Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически, а не как предел соответствующих интегральных сумм. Обобщенные фнкции , даже не заданные явными выражениями,