Две замечательные теоремы планиметрии

  • Просмотров 564
  • Скачиваний 20
  • Размер файла 36
    Кб

Две замечательные теоремы планиметрии. Мендель В.В., доцент кафедры геометрии ХГПУ В этой статье речь пойдет о двух замечательных теоремах: Чевы и Менелая. Эти теоремы не входят в обязательную программу школьного курса, но большинство авторов учебников по геометрии (А.Д. Александров, Л.С. Атанасян и другие) считают своим долгом включить эти теоремы в дополнительные главы. Замечательным свойством теоремы Чевы является то, что

она может служить отправной точкой при повторении основных свойств треугольников в 9 классе. В частности, с её помощью легко доказываются следующие свойства: 1. медианы треугольника пересекаются в одной точке; 2. высоты треугольника пересекаются в одной точке; 3. биссектрисы внутренних углов; биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке; В С1 А1 В1 А С рисунок 1. а) (прямая пересекает

две стороны и продолжение третьей) 4. отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной(или вневписанной) окружности пересекаются в одной точке. Кроме того, авторы предлагают для самостоятельного решения достаточное количество задач, предполагающих использование теоремы Чевы. К сожалению, задач, предполагающих применение теоремы Менелая, в учебниках явно недостаточно. Одна из целей данной статьи:

показать, как эффективно может работать теорема Менелая при решении сложных (и не очень) геометрических задач. Формулировки теорем Чевы и Менелая. В А С В1 А1 С1 рисунок 1. б) (прямая пересекает продолжения всех трёх сторон) Теоремы Менелая и Чевы в разных источниках приводятся в различных формулировках: в векторной форме(с использованием направленных отрезков), в форме прямой и обратной теоремы. Здесь приводятся формулировки и

доказательства, не требующие знания векторов и поэтому доступные для восьмиклассников. Теорема Менелая. Пусть в треугольнике АВС точка А1О ВС, точка B1О АС, точка С1 О АВ. Точки А1, B1, С1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда: (*) на рис.1 а) и б) показаны возможные расположения прямой и треугольника. Доказательство: Докажем прямое утверждение: если точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой, то имеет место утверждение (*). Будем