Двойное векторное произведение

  • Просмотров 2885
  • Скачиваний 530
  • Размер файла 21
    Кб

Двойное векторное произведение Трём векторам a, b и c можно поставить в соответствие вектор, равный a×(b×c). Этот вектор называют двойным векторным произведением векторов a, b и c. Двойное векторное произведение встречается в механике и физике. Двойное векторное произведение выражается через линейную комбинацию двух или трёх своих сомножителей по формуле a×(b×c) = b(ac) - c(ab). Докажем это. Обозначим через x разность левой и

правой частей этого равенства x = a×(b×c) - b(ac) + c(ab). Нам достаточно показать, что x = 0. Предположим, что векторы b и c коллинеарны. Если они оба нулевые, то в выражении для вектора x все слагаемые равны нулевому вектору и поэтому равенство x = 0 выполнено. Если же один из коллинеарных векторов b, c ненулевой, например c, то для другого вектора при некотором α є R выполнено равенство b=αc. Но тогда x=a×(αc×c)-αc(ac)+cα(ac)=0.

Предположим теперь, что векторы b и c неколлинеарны. Тогда их векторное произведение не равно нулевому вектору и ортогонально ненулевому вектору b. Векторы образуют правый ортонормированный базис в V3 (это и отражается в обозначениях). В этом базисе справедливы следующие разложения векторов: b=|b|i , c = c1i+c2k , a = a1i + a2j + a3k , и поэтому b×c = - |b|c2j , a×(b×c) = - |b|c2(a1k – a3i). Кроме того, ac = a1c1 – a3c2 , ab = a1|b|. В результате находим, что и в случае

неколлинеарных векторов b и c выполнено равенство x= -|b|c2(a1k – a3i) – (a1c1 – a3c2)|b|i + a1|b|(c1i + c2k) = 0. Произведение (a×b)×c ортогонально вектору a×b, то есть в случае, когда векторы a и b не коллинеарны, лежит в плоскости векторов a и b. Следовательно, оно разлагается по векторам a и b, то есть существуют такие два числа x и y, что (a×b)×c=xa+yb. Чтобы найти эти числа, мы воспользуемся леммой, согласно которой существуют положительно

ориентированный ортонормированный базис е1, е2, е3 ,связанный с векторами a, b и с формулами a=a1e1 b=b1e1+b2e2, c=c1e1+c2e2+c3e3. В этом базисе вектор a×b имеет координаты (0,0, a1b2) , и потому вектор (a×b)×c – координаты Так как вектор xa+yb имеет координаты (xa1+yb1, yb2, 0), то, следовательно, формула (a×b)×c=xa+yb будет иметь место при x = -b1c1 – b2c2 , y = a1c1. Поскольку, с другой стороны, а1с1 = ас и b1c1+b2c2 = bc, этим доказано следующее предложение: ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Для