Геометрические характеристики поперечных сечений — страница 2

сил веса. Если уподобить рассмотренное сечение одно­родной пластинке, то сила веса пластинки во всех точках будет пропорциональна элементарной площади dF, а момент сил веса относительно некоторой оси — пропорционален статическому мо­менту. Этот момент сил веса относительно оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю. В нуль обращается, следовательно, и статический момент относительно центральной оси. Моменты инерции

сечения В дополнение к статическим моментам рассмотрим еще три сле­дующих интеграла: (2) Через х и у обозначены текущие координаты эле­ментарной площадки dF в произвольно взятой системе координат х, y. Первые два интеграла называются осевыми момен­тами инерции сечения относительно осей х и y соответственно. Третий интеграл называется центробежным моментом инерции сечения относительно осей х, у. Размерность моментов инерции см4.

Осевые моменты инерции всегда положительны, поскольку поло­жительной считается площадь dF. Центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным, в зависи­мости от расположения сечения относительно осей х, у. Выведем формулы преобразования моментов инерции при парал­лельном переносе осей. Будем считать, что нам заданы моменты инерции и статические моменты относительно осей х1 и y1. Требуется определить

моменты инерции относительно осей x2 и y2 (3) Подставляя сюда х2 = x1 — а и y2 = y1 — b и раскрывая скобки (согласно (1) и (2)) находим Если оси x1 и y1 — центральные, то Sx1 = Sy1 = 0. Тогда (4) Следовательно, при параллельном переносе осей (если одна из осей — центральная) осевые моменты инерции меняются на величину, равную произведению площади на квадрат расстояния между осями. Из первых двух формул (4) следует, что в семействе парал­лельных осей

минимальный момент инерции получается относи­тельно центральной оси (а = 0 или Ь = 0). Поэтому легко запом­нить, что при переходе от центральных осей к нецентральным осе­вые моменты инерции увеличиваются и величины a2F и b2F следует к моментам инерции прибавлять, а при переходе от нецентральных осей к центральным — вычитать. При определении центробежного момента инерции по формулам (4) следует учитывать знак величин а и b. Можно,

однако, и сразу установить, в какую сторону меняется величина Jxy при параллельном пере­носе осей. Для этого следует иметь в виду, что часть площади, находя­щаяся в I и III квадрантах системы координат x1y1, дает поло­жительное значение центробежного момента, а части, находящиеся в II и IV квадрантах, дают отрицательные значения. Поэтому при переносе осей проще всего устанавливать знак сла­гаемого abF в соответствии с тем, ка­кие из