Графы. решение практических задач с использованием графов (С++) — страница 4

  • Просмотров 21576
  • Скачиваний 923
  • Размер файла 47
    Кб

Паросочетание называется максимальным, если никакое его надмножество не является независимым. 16)           Две вершины в графе связаны, если существует соединяющая их простая цепь. 17)           Граф, в котором все вершины связаны, называется связным. 18)           Граф, состоящий только из изолированных вершин, называется вполне несвязным.

19)           Длиной маршрута называется количество ребер в нем (с повторениями). 20)           Расстоянием между вершинами u и v называется длина кратчайшей цепи геодезической. 21)           Диаметром графа G называется длина длиннейшей геодезической. 22)           Эксцентриситетом вершины v в связном графе G(V,E) называется максимальное

расстояние от вершины v до других вершин графа G. 23)           Радиусом графа G называется наименьший из эксцентриситетов вершин. 24)           Вершина v называется центральной, если ее эксцентриситет совпадает с радиусом графа. 25)           Множество центральных вершин называется центром графа. SHAPE * MERGEFORMAT 3 2 2 3 3 3

3                                                3 4 4 2 3 3 рис. 5 Эксцентриситеты вершин и центры графов (выделены). Основные теоремы теории графов Опираясь на приведенные выше определения теории графов, приведем формулировки и доказательства теорем, которые затем найдут свои приложения при решении задач. Теорема 1. Удвоенная

сумма степеней вершин любого графа равна числу его ребер. Доказательство. Пусть А1, А2, А3, ..., An — вер­шины данного графа, a p(A1), p(А2), ..., p(An) – степени этих вершин. Подсчитаем число ребер, сходящихся в каждой вершине, и просуммируем эти числа. Это рав­носильно нахождению суммы степеней всех вершин. При таком подсчете каждое ребро будет учтено дважды (оно ведь всегда соединяет две вершины). Отсюда следует: p(A1)+p(А2)+ ... +p(An)=0,5N, или 2(p(A1)+p(А2)+

... +p(An))=N , где N — число ребер. Теорема 2. Число нечетных вершин любого графа четно. Доказательство. Пусть a1, a2, a3, …, ak — это сте­пени четных вершин графа, а b1, b2, b3, …, bm — степени нечетных вершин графа. Сумма a1+a2+a3+…+ak+b1+b2+b3+…+bm ровно в два раза превышает число ребер гра­фа. Сумма a1+a2+a3+…+ak четная (как сумма четных чисел), тогда сумма b1+b2+b3+…+bm должна быть четной. Это возможно лишь в том случае, если m — четное, то есть четным является и число