Граничные условия на стыке двух диэлектриков. Теорема о циркуляции

  • Просмотров 414
  • Скачиваний 22
  • Размер файла 80
    Кб

Граничные условия на стыке двух диэлектриков. Теорема о циркуляции. М.И. Векслер, Г.Г. Зегря Любая граница раздела двух сред может считаться плоской на достаточно малом участке. Кроме того, в пределах достаточно малого участка поле векторов , , можно считать однородным на каждой из сторон. Составляющие указанных векторов Dn, En, Pn, перпендикулярные к границе, называются нормальными, а , , , параллельные границе, - тангенциальными

компонентами. На незаряженной границе двух диэлектриков нормальные и тангенциальные компоненты преобразуются следующим образом: (36) Левое соотношение получается из теоремы Гаусса, примененной к области в форме очень тонкого параллелепипеда, серединной плоскостью которого является граница раздела диэлектриков. Для получения второго соотношения привлекается теорема о циркуляции (37) Контуром служит узкая прямоугольная

рамка, плоскость которой перпендикулярна к границе раздела, рассекающей рамку пополам. Левая часть равенства есть , а правая равна нулю из электростатического уравнения Максвелла (). Эаметим, что теорема о циркуляции - это математический закон, применимый к любому векторному полю, как и теорема Гаусса. Задача. Плоскость xy представляет собой границу раздела диэлектрик с проницаемостью ε1 (z<0) - воздух (z>0). Напряженность

электрического поля в воздухе составляет E2, а вектор составляет угол θ с осью z и не имеет y-компоненты. Найти , в обеих средах и поверхностный связанный заряд. Вычислить также циркуляцию вектора по прямоугольному контуру длины L, лежащему в плоскости xz. Решение: По условию, откуда сразу По правилам преобразования нормальных и тангенциальных компонент, Dn1 = Dn2 = ε0E2cosθ = С учетом общего соотношения , получаем: En1 = = Теперь можно

полностью выписать в диэлектрике: Поляризованность в воздухе отсутствует, а в диэлектрике: = = При вычислении поверхностного связанного заряда нужна только нормальная компонента, а именно: Вычисление циркуляции вектора даст Знак выбирается в зависимости от напрaвления обхода контура. Заметим, что если бы мы считали циркуляцию , то получили бы ноль. Так как мы знаем с обеих сторон плоскости xy, (в области z<0 ) можно записать