Группы преобразований

  • Просмотров 427
  • Скачиваний 22
  • Размер файла 170
    Кб

Группы преобразований 1.Перемещения Пусть X - множество всех точек прямой , плоскости или трехмерного пространства . Обозначим через d(P, Q) расстояние между точками P и Q множества X. Отображение f: X  X f(P) =  называется перемещением, если для всех P и Q d(P, Q) = d(, ). Примеры. 1. Пусть в выбрана правая декартова прямоугольная система координат (x, y) с началом О. Поворот плоскости на угол  вокруг точки О задается формулами  = R. Здесь  = ,

R = . Очевидно, поворот является перемещением плоскости. Отметим, что (О) =О, то есть точка О остается неподвижной при повороте. Аналогично, в можно рассмотреть поворот на угол  вокруг оси, заданной единичным вектором  и точкой О. Легко проверить, что это перемещение задается формулой:  =Rcos + (R)sin +(1-cos)(R) . Все точки оси поворота являются неподвижными. Перемещением будет и параллельный перенос на вектор v , Очевидно,  = R

+v . Неподвижных точек перенос не имеет. Пусть l некоторая прямая в . (Зеркальное) отражение относительно этой прямой является перемещением. Если в декартовой прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид y = tg(/2) x , то отражение задается формулой :  = R . Аналогично, если  некоторая плоскость в , то отражение относительно этой плоскости будет перемещением. Если n единичный вектор нормали к плоскости  , проходящей

через начало координат, то  = R - 2(Rn)n . Переносы и отражения (примеры 2 и 3) можно рассматривать и в . Композиция UV (последовательное выполнение ) двух перемещений U и V снова будет перемещением: (UV)(P) = U(V(P)). Например, =  =  - тождественное перемещение. 2. Связь с линейными операторами. Теорема 1 Пусть f: X  X - перемещение, A, B, C, D - точки X, f(A) =  и т.д. Если AB = CD (как свободные векторы), то  =  . Доказательство. Достаточно проверить, что

в условиях теоремы четырехугольник  является параллелограммом. Пусть О точка пересечения диагоналей AD и BC. Принадлежность точки О отрезку АD равносильно равенству: d(A, O) + d(O, D) = d(A, D). Поскольку для образов этих точек имеет место аналогичное равенство d( , ) + d(, ) = d( , ) , мы видим, что  лежит на отрезке  и делит его пополам, поскольку d( , ) = d(A ,O) = 1/2 d(A ,D) = 1/2 d( , ) . Аналогично,  лежит на  и делит его пополам.