Группы преобразований
Группы преобразований 1.Перемещения Пусть X - множество всех точек прямой , плоскости или трехмерного пространства . Обозначим через d(P, Q) расстояние между точками P и Q множества X. Отображение f: X X f(P) = называется перемещением, если для всех P и Q d(P, Q) = d(, ). Примеры. 1. Пусть в выбрана правая декартова прямоугольная система координат (x, y) с началом О. Поворот плоскости на угол вокруг точки О задается формулами = R. Здесь = , R = . Очевидно, поворот является перемещением плоскости. Отметим, что (О) =О, то есть точка О остается неподвижной при повороте. Аналогично, в можно рассмотреть поворот на угол вокруг оси, заданной единичным вектором и точкой О. Легко проверить, что это перемещение задается формулой: =Rcos + (R)sin +(1-cos)(R) . Все точки оси поворота являются неподвижными. Перемещением будет и параллельный перенос на вектор v , Очевидно, = R +v . Неподвижных точек перенос не имеет. Пусть l некоторая прямая в . (Зеркальное) отражение относительно этой прямой является перемещением. Если в декартовой прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид y = tg(/2) x , то отражение задается формулой : = R . Аналогично, если некоторая плоскость в , то отражение относительно этой плоскости будет перемещением. Если n единичный вектор нормали к плоскости , проходящей через начало координат, то = R - 2(Rn)n . Переносы и отражения (примеры 2 и 3) можно рассматривать и в . Композиция UV (последовательное выполнение ) двух перемещений U и V снова будет перемещением: (UV)(P) = U(V(P)). Например, = = - тождественное перемещение. 2. Связь с линейными операторами. Теорема 1 Пусть f: X X - перемещение, A, B, C, D - точки X, f(A) = и т.д. Если AB = CD (как свободные векторы), то = . Доказательство. Достаточно проверить, что в условиях теоремы четырехугольник является параллелограммом. Пусть О точка пересечения диагоналей AD и BC. Принадлежность точки О отрезку АD равносильно равенству: d(A, O) + d(O, D) = d(A, D). Поскольку для образов этих точек имеет место аналогичное равенство d( , ) + d(, ) = d( , ) , мы видим, что лежит на отрезке и делит его пополам, поскольку d( , ) = d(A ,O) = 1/2 d(A ,D) = 1/2 d( , ) . Аналогично, лежит на и делит его пополам.
Похожие работы
- Доклады
- Рефераты
- Рефераты
- Рефераты
- Контрольные