Группы симметрий квадрата и куба

  • Просмотров 915
  • Скачиваний 21
  • Размер файла 50
    Кб

Группы симметрий квадрата и куба О.А.Котий , Т.Л.Агафонова Хорошо знакомая школьнику фигура квадрат имеет четыре оси симметрии и центр симметрии (рис. 1). Это означает, что существует пять движений плоскости: четыре осевые симметрии и одна центральная, при которых квадрат отображается на себя. При этом некоторые вершины поменяются местами, а некоторые останутся неподвижными. Поставим более общую задачу: перечислить все

движения, отображающие квадрат на себя. Легко увидеть, что таких преобразований 8. Кроме выше указанных четырех осевых симметрий есть еще четыре поворота вокруг центра O (на 0о,  90о, 180о). Сюда вошли и тождественное преобразование и центральная симметрия . Имеется более общее понятие, чем множество преобразований фигуры в себя - группа симметрий фигуры. Это такое множество преобразований, отображающих фигуру на себя, которые

можно перемножать так, чтобы выполнялись привычные свойства умножения чисел. Произведение преобразований a и b (ab) - это преобразование, полученное в результате последовательного выполнения преобразований a, b. При таком определении умножения преобразований выполняются свойства. Существует "единица" умножения - это тождественное преобразование e такое, что преобразования ea и ae совпадают с преобразованием a. Каждое

преобразование a имеет обратное a-1 такое, что aa-1 = a-1a = e. При умножении трех преобразований a, b и c преобразования можно объединять попарно разными способами, то есть выполняется ассоциативный закон. (ab) c = a (bc). Отсюда, при умножении нескольких множителей скобки можно не ставить. В отличие от умножения чисел коммутативный закон для умножения преобразований не обязательно выполняется. Например. Пусть a и b (рис. 2) - осевые симметрии

(для краткости в дальнейшем слово осевая будем опускать). Преобразование ab отображает: A  D  B, B  C  C. Сторона AB перешла в BC; центр О остался неподвижным. ab - это поворот вокруг центра О на 90о. Аналогично проверяется, что преобразование ba есть поворот в обратную сторону, на -90о, то есть ab  ba. Таким образом, перечисленные выше 8 преобразований образуют некоммутативную группу симметрий квадрата (G2). Четыре поворота