Интеграл помогает доказать неравенство Коши

  • Просмотров 356
  • Скачиваний 20
  • Размер файла 23
    Кб

Интеграл помогает доказать неравенство Коши С. Берколайко [Решил добавить к уже выложенным доказательствам неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим ещё одно. Оно не такое потрясное по оригинальности как доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых средств и ловкостью автора. – E.G.A.] Пусть a1, a2, ..., an – положительные числа, среди которых есть различные. Тогда выполняется

неравенство Коши: a1 + a2 + ... + an n > n  a1 a2 ... an . (1) Обозначим левую часть неравенства Коши через Sn и докажем его в такой форме: (Sn ) n > a1 a2 ... an . (2) Очевидно, не ограничивая общности, можно считать, что для некоторого k такого, что 1 ≤ k ≤ n – 1, a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ ak ≤ Sn ≤ ak+1 ≤ ... ≤ an–1 ≤ an. (3) Основой доказательства неравенства (2) будет неравенство b b – a b < ∫ dt t = ln b a < b – a a , a (4) где 0 < a < b (см. рисунок). Заметим, что при a = b вместо (4) имеем b – a b = ln b a =

b – a a . Из (3) и (4) Sn – a1 Sn + Sn – a2 Sn + ... + Sn – ak Sn ≤ ln Sn a1 + ln Sn a1 + ... + ln Sn ak , (5) или kSn – (a1 + a2 + ... + ak) Sn ≤ ln (Sn)k a1 a2 ... ak . (6) Опять-таки из (3) и (4) ln ak+1 Sn + ln ak+2 Sn + ... + ln an Sn ≤ ak+1 – Sn Sn + ak+2 – Sn Sn + ... + an – Sn Sn , (7) или ln ak+1 ak+2 ... an (Sn) n–k ≤ (ak+1 + ... + an) – (n – k)Sn Sn . (8) Легко проверить, что левая часть неравенства (6) равна правой части неравенства (8). Значит, из (6) и (8) ln ak+1 ak+2 ... an (Sn) n–k ≤ ln (Sn)k a1 a2 ... ak . (9) Поскольку среди чисел a1, a2, ..., an есть различные, в цепочке неравенств

(3) какие-то неравенства выполняются «строго». Тогда эти «строгие» неравенства перейдут в (5) или (7). Значит, по крайней мере, одно из неравенств (6), (8) тоже будет «строгим». Поэтому вместо (9) мы можем утверждать ln ak+1 ak+2 ... an (Sn) n–k < ln (Sn)k a1 a2 ... ak , или ak+1 ak+2 ... an (Sn) n–k < (Sn)k a1 a2 ... ak , откуда вытекает (2). Если же a1 = a2 = ... = an, то, очевидно, a1 + a2 + ... + an n = n  a1 a2 ... an .