"Комплект" заданий по численным методам — страница 2

  • Просмотров 3270
  • Скачиваний 432
  • Размер файла 32
    Кб

исходная система ОДУ x' = F(x, t) в точке (x 5m 0,t 4m 0): x' = A*x, (2) где матрица А зависит от точки линеаризации (x 5m 0,t 4m 0). Входной сигнал при линеаризации является неизвестной функцией времени и при фиксированном t 4m 0 на шаге h 4m 0 может считаться констан- той. Ввиду того ,что для линейной системы свойство устойчивости за- висит лишь от А, то входной сигнал в системе (2) не показан. Элемен- ты матрицы А меняются с

изменением точки линеаризации,т.е. с измене- нием m. Характеристики метода: 1.  _Численная устойчивость .. Приведя матрицу А к диагональной форме : А = Р* 7l 0*Р 5-1 0 и перейдя к новым переменным y = P 5-1 0*x , система (2) примет вид : y' =  7l 0*y (3) Тогда метод Эйлера для уравнения (3) будет иметь вид : y 5m+1 0 = y 5m 0 + h* 7l 0 * y 5m 0, (4) где величина h* 7l 0 изменяется от шага к шагу. В этом случае

характеристическое уравнение для дискретной сис- темы (4) будет иметь вид : 1 + h* 7l 0 - r = 0. А корень характеристического уравнения равен: r = 1+ h* 7l 0, где  7l 0 = 7 a 0  _+ . 7 b 0 .  _Случай 1 .. Исходная система (3) является асимптотически устой- чивой , т.е. нулевое состояние равновесия системы асимптотически ус- тойчиво и  7 a 0 < 0. Областью абсолютной устойчивости метода интегрирования системы (4) будет круг

радиусом , равным 1 , и с центром в точке (0, -1). Таким образом , шаг h должен на каждом интервале интегрирования под- бираться таким образом, чтобы при этом не покидать область А . Но в таком случае должно выполняться требование : h < 2* 7t 0, (5) где  7t 0=1/ 72a2 0 - постоянная времени системы (3) . Она определяет ско- рость затухания переходных процессов в ней. А время переходного про- цесса T 4пп 0 = 3* 7t 0 , где  7t 0 =

 72a2 5-1 0. Если иметь ввиду, что система (3) n-го порядка, то T 4пп 0 > 3* 7t 4max 0, где  7t 4max 0 =  72a 4min 72 5-1 7  0;  7a 4min  0= min  7a 4i 0 . Из всех  7a 4i 0 (i=[1;n]) выбирает- ся максимальное значение : max 72a 4i 72 0= 7a 4max 0 и тогда можно вычислить :  7t 4min  0= 1/ 7a 4max 0, а шаг должен выбираться следующим образом : h < 2/ 7a 4max 0 или h < 2* 7t 4min 0.  _Случай 2 ..

Нулевое состояние равновесия системы (2) неустойчи- во, т.е.  7a 0 > 0 . Т.е. система тоже неустойчива , т.е.  72 0r 72 0>1. Поэтому областью относительной устойчивости явного метода Эйлера является вся правая полуплоскость . Выполняется требование :  72 0 1+h* 7l 0  72  0< 7 2  0e 5hl 7 2 0 (6) 2.  _Точность метода .. Так как формула интегрирования (1) аппроксимирует ряд Тейлора для функции x(t 4m 0+1) до