"Комплект" заданий по численным методам — страница 4

  • Просмотров 3280
  • Скачиваний 432
  • Размер файла 32
    Кб

системы y' =  7l 0*y . Она определяет скорость затухания переходных процессов в ней . Неравенство (2) должно выполняться на всем участке решения , что соответственно тре- бует значительных затрат машинного времени. Алгоритм этого метода определяется формулой: x 5m+1 0 = x 5m 0 + h 4m 0*F(x 5m+1 0, t 4m+1 0)  4  0(3) Если h 4m 0 мал, то x 5m 0 и х 5m+1 0 близки друг к другу. В качестве на- чального приближения берется

точка x 5m 0 , а следовательно , между x 5m 0 и x 5m+1 0 будет существовать итерационный процесс. Для аналитического исследования свойств метода Эйлера линеа- ризуется исходная система ОДУ x' = F(x, t) в точке (x 5m 0,t 4m 0): x' = A*x, где матрица А зависит от точки линеаризации (x 5m 0,t 4m 0). Входной сигнал при линеаризации является неизвестной функцией времени и при фиксированном t 4m 0 на шаге h 4m 0 может

считаться констан- той. Ввиду того ,что для линейной системы свойство устойчивости за- висит лишь от А, то входной сигнал в системе (1) не показан. Элемен- ты матрицы А меняются с изменением точки линеаризации,т.е. с измене- нием m. Характеристики метода: 1.  _Численная устойчивость .. Приведя матрицу А к диагональной форме : А = Р* 7l 0*Р 5-1 0 и перейдя к новым переменным y = P 5-1 0*x , система (3) примет вид : y' =  7l 0*y (4)

Тогда метод Эйлера для уравнения (4) будет иметь вид : y 5m+1 0 = y 5m 0 + h* 7l 0 * y 5m+1 0, (5) где величина h* 7l 0 изменяется от шага к шагу. В этом случае характеристическое уравнение для дискретной сис- темы (5) будет иметь вид : 1 - h* 7l 0*r - 1 = 0. А корень характеристического уравнения равен: r = 1/(1-h* 7l 0) , где  7l 0 = 7 a 0  _+ . 7 b 0 .  _Случай 1 .. Исходная система (4) является асимптотически устой- чивой

, т.е. нулевое состояние равновесия системы асимптотически ус- тойчиво и  7 a 0 < 0. Областью абсолютной устойчивости метода интегрирования системы (5) будет вся левая полуплоскость. Таким образом , шаг h должен на каждом интервале интегрирования подбираться таким образом, чтобы при этом не покидать эту область. Но в таком случае должно выполняться требование : h < 2* 7t 0, (6) где  7t 0=1/ 72a2 0 - постоянная времени

системы (4) . Она определяет ско- рость затухания переходных процессов в ней. А время переходного про- цесса T 4пп 0 = 3* 7t 0 , где  7t 0 =  72a2 5-1 0. Если иметь ввиду, что система (4) n-го порядка, то T 4пп 0 > 3* 7t 4max 0, где  7t 4max 0 =  72a 4min 72 5-1 7  0;  7a 4min  0= min  7a 4i 0 . Из всех  7a 4i 0 (i=[1;n]) выбирает- ся максимальное значение : max 72a 4i 72 0= 7a 4max 0 и тогда можно