"Комплект" заданий по численным методам — страница 5

  • Просмотров 3271
  • Скачиваний 432
  • Размер файла 32
    Кб

вычислить :  7t 4min  0= 1/ 7a 4max 0, а шаг должен выбираться следующим образом : h < 2/ 7a 4max 0 или h < 2* 7t 4min 0.  _Случай 2 .. Нулевое состояние равновесия системы (4) неустойчи- во, т.е.  7a 0 > 0 . Т.е. система тоже неустойчива , т.е.  72 0r 72 0>1, а следовательно :  72 0 1/(1-h* 7l 0)  72 0 > 1. С учетом ограничения на скорость изменения приближенного ре- шения относительно точного :  72 0

1/(1-h* 7l 0)  72 0 > 7 2  0e 5hl 7 2 0. (7) Из этого соотношения следует , что при  72 0h* 7l2 0 -> 1 левая часть стремится к бесконечности . Это означает , что в правой полуплоскос- ти есть некоторый круг радиусом , равным 1 , и с центром в точке (0, 1), где неравенство (7) не выполняется. 2.  _Точность метода .. Ошибка аппроксимации по величине равна ошибке аппроксимации явного метода Эйлера , но она противоположна по

знаку : Е 4i 5am 0 =-1/2! * h 4m 52 0*x 4i 0''(t), где t 4m 0 <= t <= t 4m+1 0, i=[1;n]. 3.  _Выбор шага интегрирования .. Должны соблюдаться условия абсолютной (6) или относительной (7) устойчивости в зависимости от характера интегрируемой системы. Для уравнения первого порядка шаг должен быть : h < 2* 7t 0 . Для уравнений n-ого порядка : h 4i 0 <= 2* 7t 4i  0. Однако область абсолютной устойчивости - вся левая

полуплос- кость . Поэтому шаг с этой точки зрения может быть любым. Условия относительной устойчивости жестче, так как есть об- ласть , где они могут быть нарушены. Эти условия будут выполняться , если в процессе решения задачи контролировать ошибку аппроксимации , а шаг корректировать . Таким образом, шаг можно выбирать из условий точности, при этом условия устойчивости будут соблюдены автоматичес- ки. Сначала задается

допустимая погрешность аппроксимации : E 4i 5aдоп 0 <= 0,001  72 0x 4i 72 4max 0, где i=[1;n]. Шаг выбирается в процессе интегрирования следующим образом: 1. Решая систему (3) относительно x 5m+1 0 с шагом h 4m 0, получаем очередную точку решения системы x = F(x,t) ; 2. Оцениваем величину ошибки аппроксимации по формуле: Е 4i 5am 0 =  72 0h 4m 7/ 0(h 4m 0+h 4m-1 0)*[(x 4i 5m+1 0 - x 4i 5m 0) -

h 4m 7/ 0h 4m-1 0*(x 4i 5m 0 -x 4i 5m-1 0)] 72 3. Действительное значение аппроксимации сравнивается с до- пустимым. Если Е 4i 5am 0 < E 4i 5aдоп 0, то выполняется следующий пункт, в про- тивном случае шаг уменьшается в два раза , и вычисления повторяются с п.1. 4. Рассчитываем следующий шаг: h 4i 5m+1 0 = SQR(E 4i 5aдоп 7/2 0Е 4i 5am 72 0) * h 4m 0. 5. Шаг выбирается одинаковым для всех элементов