"Комплект" заданий по численным методам — страница 6

  • Просмотров 3272
  • Скачиваний 432
  • Размер файла 32
    Кб

вектора X : h 4m+1 0 = min h 4i 5m+1 0. 6. Вычисляется новый момент времени и алгоритм повторяется . НЕЯВНЫЕ МЕТОДЫ РУНГЕ-КУТТА Метод Эйлера является методом Рунге-Кутта 1-го порядка . Методы Рунге-Кутта 2-го и 4-го порядка являются одношаговыми , согласуются с рядом Тейлора до порядка точности s , который равен порядку метода . Эти методы не требуют вычисления производных функций , а только самой функции в нескольких точках на шаге

h 4m 0. Алгоритм метода Рунге-Кутта 2-го порядка состоит в следующем: x 5m+1 0 = x 5m 0 + h 4m 0/2 (k 41 5m+1 0+k 42 5m+1 0), где k 41 5m+1 0=f(x 5m+1 0,t 4m+1 0); k 42 5m+1 0=f(x 5m+1 0-h 4m 0*k 41 5m+1 0,t 4m+1 0). Ошибка аппроксимации Е 4m 5a 0 = k*h 4m 53 0 . Алгоритм метода Рунге-Кутта 4-го порядка x 5m+1 0 = x 5m 0 + h 4m 0/6 (k 41 5m+1 0+2k 42 5m+1 0+2k 43 5m+1 0+k 44 5m+1 0), где

k 41 0=f(x 5m+1 0,t 4m+1 0); k 42 0=f(x 5m+1 0-h 4m 0/2*k 41 5m+1 0,t 4m+1 0-h 4m 0/2); k 43 0=f(x 5m+1 0-h 4m 0/2*k 42 5m+1 0,t 4m+1 0-h 4m 0/2); k 44 0=f(x 5m+1 0-h 4m 0*k 43 5m+1 0,t 4m 0). Ошибка аппроксимации Е 5a 0 = k*h 4m 55 0. 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ САУ МЕТОД НЬЮТОНА Итерационная формула метода Ньютона имеет вид X 5m+1 0=X 5m  0- 5  0J 5-1  0* 5  0(X 5m 0) 5

 0* 5  0F(X 5m 0), где J(X)=F 4x 5| 0/ 4x=xm Характеристики метода: 1. Сходимость. Покажем, что в точке P(G 4x 5| 0(X 5* 0))=0 Здесь G(x)=X - J 5-1 0(x) * F(x) - изображение итерационного процес- са. Условие сходимости метода: P(G 4x 5| 0(X)) < 1 должно выполняться для всех значений X 5m 0. Это условие осуществляется при достаточно жестких требованиях к F(x): функция должна быть непрерывна и дифференцируема по X, а также

выпукла или вогнута вблизи X 5* 0. При этом выполняется лишь условие локальной сходимости. Причем можно показать, что чем ближе к X 5* 0, тем быстрее сходится метод. 2. Выбор начального приближения X 50 0 - выбирается достаточно близко к точному решению. Как именно близко - зависит от скорости изменения функции F(x) вблизи X 5* 0: чем выше скорость, тем меньше область, где соблюдается условие сходимости и следовательно

необходимо ближе выби- рать X 50 0 к X 5* 0. 3. Скорость сходимости определяется соотношением ║E 5m+1 0║ = C 4m 0 * ║E 5m 0║ 51+p 0, 0 < P < 1. При X -> X 5* 0 величина P -> 1. Это значит, что вблизи точного реше- ния скорость сходимости близка к квадратичной. Известно, что метода Ньютона сходится на 6-7 итерации. 4. Критерий окончания итераций - здесь могут использоваться кри- терии точности, то есть